人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计本章综合与测试课后复习题

专题强化练5　离散型随机变量的分布列及数字特征

一、选择题

1.(2020浙江杭州外国语学校高二模拟,)已知随机变量X的分布列如下表所示,Y=2X+1,则E(Y)=(　　)

A. B.

C. D.2

2.(多选)(2019山东德州一中高二期末,)已知ξ是离散型随机变量,则下列结论正确的是(　　)

A.P≤P B.[E(ξ)]2≤E(ξ2)

C.D(ξ)=D(1-ξ)        D.D(ξ2)=D[(1-ξ)2]

3.(2020吉林长春东北师范大学附属中学高二期末,)某学校为了给运动会选拔志愿者,组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题,其中两个是判断题,另一个是有三个选项的单项选择题,设ξ为回答正确的题数,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=(　　)

A.1 B. C. D.2

4.(2019浙江杭州学军中学高二段考,)已知随机变量ξ满足下列分布列,当p∈(0,1)且不断增大时,(　　)

A.E(ξ)增大,D(ξ)增大

B.E(ξ)减小,D(ξ)减小

C.E(ξ)增大,D(ξ)先增大后减小

D.E(ξ)增大,D(ξ)先减小后增大

5.(2019江西九江一中高二期末,)已知随机变量X的分布列如下表:

其中a,b,c>0.若X的方差DX≤对所有的a∈(0,1-b)都成立,则(　　)

A.0<b≤ B.0<b≤

C.≤b<1 D.≤b<1

二、填空题

6.(2020山东济南二中高二期末,)在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为ξ,则期望E(ξ)=　　　　,方差D(ξ)的最大值为　　　　. 

三、解答题

7.(2020重庆西南大学附属中学高二模拟,)某地区为了在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想,扶贫工作小组经过多方调研,综合该地区的气候、地质、地理位置等特点,决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A,B,C三种景观树苗,经引种试验后发现,引种树苗A的自然成活率为0.8,引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.

(1)若引种树苗A,B,C各一棵,求至少自然成活两棵的概率;

(2)已知引种一棵树苗B需花费100元,引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理,每棵需花费50元,处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期(成活后至长成可出售的小树)的培养过程中每棵均需再花费200元,记引种一棵树苗B的总花费为X元,求随机变量X的分布列及数学期望.

8.(2020安徽合肥八中高二调研,)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如下:

(1)从空气质量指数在[0,50],(50,100]的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;

(2)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

9.(2020天津宝坻第一中学高二期中考试,)某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾,则停止课间操;若无雾霾,则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率分别是前3天均为,后2天均为,且每一天是否出现雾霾是相互独立的.

(1)求未来5天中至少一天停止课间操的概率;

(2)求未来5天中组织课间操的天数X的分布列和数学期望.

10.(2020北师大实验中学高二期末,)为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区八所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:

(1)从八所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率;

(2)从八所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X的分布列;

(3)设八所学校中优秀比例的方差为,良好及其以下比例之和的方差为,试比较与的大小.

答案全解全析

专题强化练5　离散型随机变量的分布列及数字特征

一、选择题

1.B　由题意可知++a=1,所以a=,所以E(X)=1×+0×+(-1)×=,因此E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=,故选B.

2.ABC　在A中,P=P-≤ξ≤≤P-≤ξ≤=Pξ2≤,故A正确;在B中,由数学期望的性质得[E(ξ)]2≤E(ξ2),故B正确;在C中,由方差的性质得D(1-ξ)=(-1)2×D(ξ)=D(ξ),故C正确;在D中,D(ξ2)≠D[(1-ξ)2]=4D(ξ)+D(ξ2),故D错误.故选ABC.

3.B　由已知得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=××=,

P(ξ=1)=××+××+××=,

P(ξ=2)=××+××+××=,

P(ξ=3)=××=,

∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=,故选B.

4.C　由题意得,E(ξ)=2p,D(ξ)=2p(1-p),所以当p∈(0,1)且不断增大时,E(ξ)增大,D(ξ)先增大后减小.故选C.

5.D　由X的分布列可得,EX=-a+c,

又a+b+c=1,

所以X的方差DX=(-1+a-c)2a+(a-c)2b+(1+a-c)2c=(a-c)2(a+b+c)-2(a-c)2+a+c=-(a-c)2+a+c=-(2a-1+b)2+1-b=-4+1-b,

因为a∈(0,1-b),所以当且仅当a=时,DX取得最大值1-b,

又DX≤对所有的a∈(0,1-b)都成立,所以1-b≤,解得b≥,所以≤b<1.

故选D.

二、填空题

6.答案　p;

解析　易知ξ服从两点分布,故E(ξ)=p,

方差Dξ=p(1-p)≤,当且仅当p=时等号成立.

三、解答题

7.解析　(1)设事件D为引种三棵树苗,至少自然成活两棵,

则P(D)=0.8×0.75×0.25×2+0.2×0.75×0.75+0.8×0.75×0.75=0.862 5.

(2)X的所有可能取值为100,150,300,350.

P(X=100)=(1-0.75)×0.2=0.05,

P(X=150)=(1-0.75)×0.8×0.2=0.04,

P(X=300)=0.75,

P(X=350)=(1-0.75)×0.8×0.8=0.16,

所以X的分布列为

E(X)=100×0.05+150×0.04+300×0.75+350×0.16=292.

8.解析　(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数,则

P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=.

(2)任选一天,设该天的经济损失为X元,则X的所有可能取值为0,220,1 480,

P(X=0)=P(0≤x≤100)==,

P(X=220)=P(100<x≤250)==,

P(X=1 480)=P(250<x≤300)==,

所以EX=0×+220×+1 480×=302(元),

故该企业一个月的经济损失的数学期望为30EX=9 060(元).

9.解析　(1)未来5天中每天都组织课间操的概率P1==,

∴未来5天中至少一天停止课间操的概率P=1-P1=1-=.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

P(X=0)==,

P(X=1)=+×=,

P(X=2)=+×+×=,

P(X=3)=+×+×=,

P(X=4)=+=,

P(X=5)==,

∴X的分布列为

E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=2.

10.解析　(1)由题意得,八所学校中,A、B、E、F四所学校学生的体质健康数据达到良好及其以上的比例超过40%,所以从八所学校中随机选出一所学校,该校为先进校的概率为.

(2)八所学校中,学生不及格比例低于30%的学校有学校B、F、H,所以X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

所以随机变量X的分布列为

(3)设优秀的比例为随机变量Y,良好及以下的比例之和为随机变量Z,则Z=1-Y,

所以D(Y)=D(Z),所以=.