新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题53复数(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题53复数(原卷版+解析)，共43页。

知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的运算
题型三：复数的几何意义
题型四：复数的相等与共轭复数
题型五：复数的模
题型六：复数的三角形式
题型七：与复数有关的最值问题
【典例例题】
题型一：复数的概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④B．②C．②③D．①②③
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．（2023·广西贵港·模拟预测（理））已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．的实部为C．D．
变式2．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．0或D．
变式3．（2023·陕西·二模（理））已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·上海交大附中高三阶段练习）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数_________.
【方法技巧与总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例4．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））复数（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0B．C．D．
例6．（2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4B．2C．0D．
变式5．（2023·重庆市清华中学校高三阶段练习）已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
变式6．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）若 （为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·四川·绵阳南山中学实验学校高三阶段练习（理））若复数的虚部小于0，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例7．（2023·广东·广州市天河外国语学校高三阶段练习（理））复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例8．（2023·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例9．（2023·四川·射洪中学高三阶段练习（理））在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式8．（2023·江苏·高三开学考试） 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
变式9．（2023·北京师大附中高三阶段练习）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）
A．4B．2C．D．
变式10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
变式11．（2023·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·河北张家口·三模）已知复数z满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例10．（2023·江苏南通·高三阶段练习）已知复数满足为负实数，为纯虚数，则（ ）.
A．B．C．D．
例11．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））设i是虚数单位，，其中a为实数，则（ ）
A．B．C．1D．2
例12．（2023·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知是虚数单位，若复数满足，则 （ ）
A．B．
C．D．
变式14．（2023·四川·模拟预测（文））设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2023·广东·执信中学高三阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·安徽·高二阶段练习）复数（为虚数单位）的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
变式19．（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．2D．10
变式20．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）若复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
变式21．（2023·广东广州·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例13．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足：，则（ ）
A．B．C．5D．
例14．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））若复数z满足，则（ ）
A．3B．5C．D．
例15．（2023·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z的实部为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若复数满足条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2023·全国·高三开学考试）已知,则( )
A．B．1C．2D．0
变式25．（2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25B．5C．D．41
【方法技巧与总结】
题型六：复数的三角形式
例16．（2023·全国·模拟预测（文））欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例18．（2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式26．（2023·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
变式27．（2023·全国·高三专题练习）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ____．
变式28．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.
【方法技巧与总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例19．（2023·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（ ）
A．3B．5C．D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．1
例21．（2023·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
变式30．（2023·全国·高三专题练习）世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式31．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．2i
变式32．（2023·甘肃张掖·高三阶段练习（理））已知复数（i表示虚数单位），复数z满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式35．（2023·江苏省如皋中学高三阶段练习）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式36．（2023·全国·高三专题练习（文））大数学家欧拉发现的公式把自然对数的底数e，虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥”．若复数z的模是1，纯虚数（a是实数），则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）复平面内存在复数，对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东·日照一中高三阶段练习）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东广州·高三阶段练习）已知，且，其中，为实数，则（ ）
A．1B．3C．D．5
5．（2023·广东·高三阶段练习）复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．3
6．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023·四川省内江市第六中学高三开学考试（文））已知复数z满足，则（ ）．
A．5B．C．22D．2
8．（2023·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知复数满足，若为纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
9．（2023·福建·三明一中高三阶段练习）复平面内表示复数，则（ ）
A．B．C．4D．
10．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏南通·高三阶段练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为B．在复平面内对应的点在第一象限
C．D．的共轭复数为
二、多选题
12．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）在复数范围内，方程的虚数根是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河北·高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若，满足，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
14．（2023·广东·珠海市第三中学二模）设为虚数单位，若，则可以是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数D．复数的模
16．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
17．（2023·天津二十中高三阶段练习）己知，则___________．
18．（2023·河北保定·高三阶段练习）若复数为纯虚数，则___________.
19．（2023·江苏南通·高三阶段练习）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________.
20．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则=______．
专题53 复数
【考点预测】
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
【题型归纳目录】
题型一：复数的概念
题型二：复数的运算
题型三：复数的几何意义
题型四：复数的相等与共轭复数
题型五：复数的模
题型六：复数的三角形式
题型七：与复数有关的最值问题
【典例例题】
题型一：复数的概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若是虚数，则都是虚数.
A．①④B．②C．②③D．①②③
答案：C
【解析】为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】因为，
所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；
复数的虚部为，所以②错误；
复数的共轭复数为，所以③错误；
，所以④正确；
方程在复数范围内的根为，
所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；
所以正确的命题个数为3个，
故选：C.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．（2023·广西贵港·模拟预测（理））已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．的实部为C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以的实部为，虚部为，所以A选项错误，B选项正确.
与不能比较大小，C选项错误.
，D选项错误.
故选：B
变式2．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．0或D．
答案：D
【解析】由复数为纯虚数，
得，解得.
故选：D.
变式3．（2023·陕西·二模（理））已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】是纯虚数，
所以且，可得．
故选：A.
变式4．（2023·上海交大附中高三阶段练习）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数_________.
答案：0
【解析】由题意得，因为是纯虚数，则 ，即，
故答案为：0
【方法技巧与总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例4．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））复数（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，因此，.
故选：C.
例5．（2023·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，且，
而，
所以原式等于.
故选：C
例6．（2023·湖南岳阳·高三阶段练习）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4B．2C．0D．
答案：C
【解析】因为是方程的根，所以，
，且，
故选：C
变式5．（2023·重庆市清华中学校高三阶段练习）已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
答案：B
【解析】因为是关于x的方程的根，则另一根为
由韦达定理得，所以
故选：B
变式6．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）若 （为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，
所以.
故选：A
变式7．（2023·四川·绵阳南山中学实验学校高三阶段练习（理））若复数的虚部小于0，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，得，因为，所以.
又z的虚部小于0，所以，.
故选：C
【方法技巧与总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例7．（2023·广东·广州市天河外国语学校高三阶段练习（理））复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】设,则,
,,
所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.
故选:B
例8．（2023·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】由复数的几何意义知：，
则，
对应的点的坐标为，位于第三象限，
故选：C.
例9．（2023·四川·射洪中学高三阶段练习（理））在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】因为，
所以复数在复平面对应的点为，故A，C，D错误.
故选：B.
变式8．（2023·江苏·高三开学考试） 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
答案：D
【解析】，故位于第四象限，
故选:D.
变式9．（2023·北京师大附中高三阶段练习）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）
A．4B．2C．D．
答案：C
【解析】因为，
由题意可得z为实数，
所以，所以．
故选：C.
变式10．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
答案：A
【解析】由题意得，
所以，在复平面中对应的点为，在第一象限.
故选：A.
变式11．（2023·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵复数对应的点的坐标为，
∴，∴，
故选：A
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，
在复平面内对应的点在第三象限，
，解得.
故选：A.
变式13．（2023·河北张家口·三模）已知复数z满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题，，故，解得，
故选：A.
【方法技巧与总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例10．（2023·江苏南通·高三阶段练习）已知复数满足为负实数，为纯虚数，则（ ）.
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，则为负实数，不妨设，则，则，，因为，故.
又为纯虚数，则为纯虚数，设，则，故，解得.
故，结合可得，故，.
故选：C
例11．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））设i是虚数单位，，其中a为实数，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案：D
【解析】由得，∴．
故选：D
例12．（2023·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知是虚数单位，若复数满足，则 （ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】依题意，即，
即，所以，所以.
故选：C
变式14．（2023·四川·模拟预测（文））设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为，
所以，
故，解得，.
故选：A.
变式15．（2023·广东·执信中学高三阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，，
因为，
所以，
解得，，
则.
故选：A
变式16．（2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意，.
所以，复数的虚部为.
故选：B.
变式17．（2023·安徽·高二阶段练习）复数（为虚数单位）的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以.
故选：B.
变式18．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
答案：D
【解析】设，则，
所以，即，
因为，所以，
所以或，
故选：D
变式19．（2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．2D．10
答案：C
【解析】由，得，
所以.
故选：C.
变式20．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）若复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设，则，
所以，
，
所以，
所以.
故选：A
变式21．（2023·广东广州·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由可得，
故，
故选:C
【方法技巧与总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例13．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足：，则（ ）
A．B．C．5D．
答案：D
【解析】
故选：D.
例14．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（理））若复数z满足，则（ ）
A．3B．5C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
所以，
故选：C.
例15．（2023·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知得，
所以，，
故选：D.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z的实部为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可设：,则.
因为，所以，解得：.
所以.
故选：C
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若复数满足条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题设，，则.
故选：A
变式24．（2023·全国·高三开学考试）已知,则( )
A．B．1C．2D．0
答案：A
【解析】,所以
故选：A
变式25．（2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25B．5C．D．41
答案：C
【解析】因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
【方法技巧与总结】
题型六：复数的三角形式
例16．（2023·全国·模拟预测（文））欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【解析】由欧拉公式知：
，，
，
的虚部为．
故选：B
例17．（2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】因为，
，
所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选：B．
例18．（2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为所以，故A正确
，，故B正确
，故C错误
，故D正确
故选：C
变式26．（2023·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】由己知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
变式27．（2023·全国·高三专题练习）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 ____．
答案：
【解析】．
故答案为：
变式28．（2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.
答案：1
【解析】由，
所以，
而，
所以.
故答案为：1
【方法技巧与总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例19．（2023·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（ ）
A．3B．5C．D．
答案：B
【解析】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，方程为；
复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为，
即为椭圆 上的点与圆 上的点的距离. 的最大值即为点到圆心 的距离的最大值加半径.
设.
所以 .
故选：B
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．1
答案：D
【解析】设，，复数在复平面内对应的点为，则，，
因为，所以，所以，
所以，则，则在轴上运动，
设，，复数在复平面内对应的点为，
则，
所以，所以，
则在以为圆心，为半径为圆上运动，
所以，
所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离，
因为圆心到轴的距离，所以；
故选：D
例21．（2023·全国·高三专题练习）复数z满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆，则，的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离，所以.
故选：A.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．6
答案：C
【解析】设.
则表示复平面点到点的距离为3.
则的最大值为点到的距离加上3.
即.
故选：C.
变式30．（2023·全国·高三专题练习）世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，对应的点的轨迹为圆；
的几何意义为点到点的距离，
.
故选：C.
变式31．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（理））如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．2i
答案：C
【解析】在复平面上，设复数对应的点为，复数对应的点为，为原点，
表示点在以为圆心，1为半径的圆上，，
而，
所以的最大值为1＋1＝2．
故选：C．
变式32．（2023·甘肃张掖·高三阶段练习（理））已知复数（i表示虚数单位），复数z满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以.
复数z对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以.
故选：C
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知复数和满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，
则表示点到点的距离是到点距离的倍.
则，
化简得：，
即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.
设，因为，所以点和点距离为3，
所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：
表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.
故选：A.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】∵的复数对应的点的轨迹是圆，圆心为，半径为，
表示点到定点的距离，，
∴．
故选：A．
变式35．（2023·江苏省如皋中学高三阶段练习）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为的复数对应的点的轨迹是椭圆，
所以
由复数的几何意义可知表示复数对应的点到的距离小于2.
即复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆内部.
表示复数对应的点到的距离.如图，设,
则,即
故选：A
变式36．（2023·全国·高三专题练习（文））大数学家欧拉发现的公式把自然对数的底数e，虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥”．若复数z的模是1，纯虚数（a是实数），则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】因为复数z的模是1，所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，又是纯虚数，所以，，在复平面内对应点的坐标是，所以的最大值是2．
故选：B．
【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）复平面内存在复数，对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由已知可得，
则点均在以原点为圆心且半径为1的单位圆上，
若点可与共圆，则，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，，所以D正确，
故选：D
2．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，的虚部为.
故选：C
3．（2023·山东·日照一中高三阶段练习）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，即的共轭复数的虚部为.
故选：C.
4．（2023·广东广州·高三阶段练习）已知，且，其中，为实数，则（ ）
A．1B．3C．D．5
答案：C
【解析】因为，所以，
所以，
所以由可得，解得，
所以，
故选：C
5．（2023·广东·高三阶段练习）复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．3
答案：C
【解析】因为，所以，，则.
故选：C.
6．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
【解析】，
复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C．
7．（2023·四川省内江市第六中学高三开学考试（文））已知复数z满足，则（ ）．
A．5B．C．22D．2
答案：A
【解析】，，.
故选：A
8．（2023·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知复数满足，若为纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：C
【解析】因为为纯虚数，所以设，
则由，得，
即，所以，解得.
故选：C.
9．（2023·福建·三明一中高三阶段练习）复平面内表示复数，则（ ）
A．B．C．4D．
答案：A
【解析】，
所以.
故选：A
10．（2023·江西·临川一中高三阶段练习（文））若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B.
11．（2023·江苏南通·高三阶段练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为B．在复平面内对应的点在第一象限
C．D．的共轭复数为
答案：C
【解析】对于A，，则实部为，A错误；
对于B，对应的点为，
，，对应的点位于第二象限，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，则其共轭复数为，D错误.
故选：C.
二、多选题
12．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）在复数范围内，方程的虚数根是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】方程可化为，
解得或.
故选:BD.
13．（2023·河北·高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若，满足，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
答案：ABD
【解析】对于A，若，则，，，依次循环，
所以，故A正确；
对于B，设，，则有，
可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；
对于C，因为复数z满足，所以点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
设，即，当此直线与圆相切时有，解得，
所以的取值范围为，故C不正确；
对于D，设，，若，则有，
令
，
则.
令，可得，
所以，于是得，故D正确.
故选：ABD
14．（2023·广东·珠海市第三中学二模）设为虚数单位，若，则可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】∵，
∴，
要使，则，
则为偶数．
故选：AC．
15．（2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数D．复数的模
答案：BCD
【解析】，
，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；
虚部为，故B正确；
复数的共轭复数，故C正确；
复数的模，故D正确；
故选：BCD.
16．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
17．（2023·天津二十中高三阶段练习）己知，则___________．
答案：-1
【解析】，所以，，.
故答案为：-1.
18．（2023·河北保定·高三阶段练习）若复数为纯虚数，则___________.
答案：
【解析】由题可知为纯虚数，
所以，故.
故答案为：.
19．（2023·江苏南通·高三阶段练习）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________.
答案：【解析】根据复数的几何意义可得，
又，.
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______.
答案：
【解析】∵，
∴，
∵为纯虚数，
∴，解得.
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则=______．
答案：
【解析】因，所以.
故答案为：