高中数学5.7 三角函数的应用精品练习题

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1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知识点一 三角函数的应用
1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.
2.用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验.
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
1.函数y＝3sin(eq \f(1,2)x﹣eq \f(π,6))的初相为________.
答案为：﹣eq \f(π,6).
2.某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________.
答案为：80
解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)，f＝eq \f(1,T)＝80，∴此人每分钟心跳的次数为80.
3.初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为( )
A.y＝v0t B.y＝v0tsin θ C.y＝v0tsin θ﹣eq \f(1,2)gt2 D.y＝v0tcs θ
答案为：C
解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，
故炮弹上升的高度y＝v0tsin θ﹣eq \f(1,2)gt2，故选C.
一、三角函数在物理中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin(2t＋eq \f(π,3))，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解：列表如下：
描点、连线，图象如图所示.
(1)将t＝0代入s＝4sin(2t＋eq \f(π,3))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和﹣4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
反思感悟 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
跟踪训练1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).

(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|(2)如果t在任意一段eq \f(1,150)的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解：(1)由题图可知A＝300，设t1＝﹣eq \f(1,900)，t2＝eq \f(1,180)，
则周期T＝2(t2﹣t1)＝2(eq \f(1,180)＋eq \f(1,900))＝eq \f(1,75).∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π.
又当t＝eq \f(1,180)时，I＝0，即sin(150π•eq \f(1,180)＋φ)＝0，而|φ|故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋eq \f(π,6)).
(2)依题意知，周期T≤eq \f(1,150)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
二、三角函数在生活中的应用
例2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解：(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝8，,b＝6，))
易知eq \f(T,2)＝14﹣2，所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)，
易知8sin(eq \f(π,12)×2＋φ)＋6＝﹣2，即sin(eq \f(π,12)×2＋φ)＝﹣1，
故eq \f(π,12)×2＋φ＝﹣eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝﹣eq \f(2π,3)，
所以y＝8sin(eq \f(π,12)x﹣eq \f(2π,3))＋6(x∈[0,24)).
(2)当x＝9时，y＝8sin(eq \f(π,12)×9﹣eq \f(2π,3))＋6＝8sin eq \f(π,12)＋6<8sin eq \f(π,6)＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调.
(学生留)
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2 健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.
解：(1)T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min). (2)f＝eq \f(1,T)＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115﹣25＝90(mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.
三、数据拟合模型的应用
例3 下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度).
以月份为x轴，x＝月份﹣1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系.
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①eq \f(y,A)＝cs eq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝cs eq \f(πx,6)；③eq \f(y－46,－A)＝cs eq \f(πx,6)；
④eq \f(y－26,A)＝sin eq \f(πx,6).
解：(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示.
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知eq \f(T,2)＝7﹣1＝6，∴T＝12.
(3)2A＝最高气温﹣最低气温＝73.0﹣21.4＝51.6，∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份﹣1，∴不妨取x＝2﹣1＝1，y＝26.0，
代入①，得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)>1≠cs eq \f(π,6)，∴①不适合.
代入②，得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)<0≠cs eq \f(π,6)，
∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合.
反思感悟 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
跟踪训练3 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
(1)作出这些数据的散点图；
(2)选有用一个三角函数来近似描述这些数据.
解：(1)散点图如图所示，
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
由表知ymax＝37.4，ymin＝36.6，
则c＝eq \f(37.4＋36.6,2)＝37，A＝eq \f(37.4－36.6,2)＝0.4，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,24)＝eq \f(π,12).
由0.4sin(eq \f(π,12)×16＋φ)＋37＝37.4，得sin(eq \f(4π,3)＋φ)＝1，即eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴φ＝2kπ﹣eq \f(5π,6)，k∈Z，取φ＝﹣eq \f(5π,6)，
故可用函数y＝0.4sin(eq \f(π,12)t﹣eq \f(5π,6))＋37来近似描述这些数据.
1.简谐运动y＝4sin(5x﹣eq \f(π,3))的相位与初相分别是( )
A.5x﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,3) B.5x﹣eq \f(π,3)，4 C.5x﹣eq \f(π,3)，﹣eq \f(π,3) D.4，eq \f(π,3)
答案为：C
解析：相位是5x﹣eq \f(π,3)，当x＝0时的相位为初相即﹣eq \f(π,3).
2.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋eq \f(π,3))，则当t＝eq \f(1,200) s时，电流强度I为( )
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.﹣5 A
答案为：B
解析：将t＝eq \f(1,200)代入I＝5sin(100πt＋eq \f(π,3))，得I＝2.5 A.
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(﹣π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sin(2t＋eq \f(π,2))，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是( )
A.eq \f(1,2)，eq \f(1,π) B.2，eq \f(1,π) C.eq \f(1,2)，π D.2，π
答案为：A
解析：当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆的周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆的频率为eq \f(1,π).
4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(eq \f(π,6)x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案为：C
解析：根据图象得函数的最小值为2，有﹣3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
5.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cs(eq \r(\f(g,l))t＋eq \f(π,3))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
答案为：eq \f(g,4π2)
解析：由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).
1.知识清单：
(1)三角函数在物理中的应用.
(2)三角函数在生活中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话.
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过eq \f(1,2)周期后，乙点的位置将处于图中的( )
A.甲 B.戊 C.丙 D.丁
答案为：D
解析：与乙点的位置相差eq \f(1,2)周期的点为丁点.
2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
答案为：ABD
解析：由题图可知，eq \f(T,2)＝0.7﹣0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为﹣5，所以振幅为5 cm；在
0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
3.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是( )
A.I＝300sin(50πt＋eq \f(π,3)) B.I＝300sin(50πt﹣eq \f(π,3))
C.I＝300sin(100πt＋eq \f(π,3)) D.I＝300sin(100πt﹣eq \f(π,3))
答案为：C
解析：A＝300，T＝eq \f(1,50)，ω＝eq \f(2π,T)＝100π，I＝300sin(100πt＋φ).
代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))，得100π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＋φ＝0，取φ＝eq \f(π,3)，∴I＝300sin(100πt＋eq \f(π,3)) .
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2)(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]
答案为：C
解析：由2kπ﹣eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ﹣π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.
5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元
答案为：C
解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，
即y＝500sin(eq \f(3π,2)x＋π)＋9 500. 当x＝3时，y＝9 000.
6.振动量函数y＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为﹣π和eq \f(3,2)，则它的运动周期为________，相位是________.
答案为：eq \f(2,3) 3πx﹣π
解析：因为频率f＝eq \f(3,2)，所以T＝eq \f(1,f)＝eq \f(2,3)，所以ω＝eq \f(2π,T)＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx﹣π.
7.某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acs[eq \f(π,6)(x﹣6)](x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.
答案为：20.5
解析：根据题意得18＝a＋Acs[eq \f(π,6)(12﹣6)]＝a﹣A,28＝a＋A，解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cs[eq \f(π,6)(x﹣6)]，令x＝10，得y＝23＋5cs[eq \f(π,6)(10﹣6)]＝23＋5cseq \f(2π,3)＝20.5.
8.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为______________.
答案为：h＝﹣6sineq \f(π,6)t(0≤t≤24)
解析：设h＝Asin(ωt＋φ)，由图象知A＝6，T＝12，∴eq \f(2π,ω)＝12，得ω＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).
点(6,0)为五点法作图中的第一点，故eq \f(π,6)×6＋φ＝0，得φ＝﹣π，
∴h＝6sin(eq \f(π,6)t﹣π)＝﹣6sin eq \f(π,6)t(0≤t≤24).
9.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋eq \f(π,6)).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解：(1)周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s).列表：
描点画图.
(2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
10.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4))＋20，x∈[4,16].
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃﹣10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin(eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4))＋20＝15，得sin(eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4))＝﹣eq \f(1,2)，
而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(26,3).令10sin(eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4))＋20＝25，得sin(eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4))＝eq \f(1,2)，
而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(34,3).
当x∈[eq \f(26,3)，eq \f(34,3)]时，eq \f(π,8)x﹣eq \f(5π,4)∈[﹣eq \f(π,6)，eq \f(π,6)]，所以函数y在[eq \f(26,3)，eq \f(34,3)]上单调递增.
故该细菌能存活的最长时间为eq \f(34,3)﹣eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时.
11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A.ω＝eq \f(15,2π)，A＝3 B.ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 C.ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D.ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
答案为：B
解析：由题意知A＝3，ω＝eq \f(2π×4,60)＝eq \f(2π,15).
12.设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A.y＝12＋3sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]
B.y＝12＋3sin( eq \f(π,6)t＋π)，t∈[0,24]
C.y＝12＋3sin eq \f(π,12)t，t∈[0,24]
D.y＝12＋3sin(eq \f(π,12)t＋eq \f(π,12))，t∈[0,24]
答案为：A
解析：由图表可得函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的最大值为15，最小值为9，故k＝eq \f(15＋9,2)＝12，A＝15﹣12＝3，由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t＝3和t＝15，
故函数的周期等于15﹣3＝12＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝eq \f(π,6)，
故函数的解析式为y＝12＋3sin(eq \f(π,6)t＋φ)，由当t＝0时，函数值等于12，
可得12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故可取φ＝0，
故函数的解析式为y＝12＋3sineq \f(π,6)t，t∈[0,24].
13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y).若初始位置为P0(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )
A.y＝sin(eq \f(π,30)t＋eq \f(π,6))，t∈[0，＋∞) B.y＝sin(﹣eq \f(πt,60)﹣eq \f(π,6))，t∈[0，＋∞)
C.y＝sin(﹣eq \f(π,30)t＋eq \f(π,6))，t∈[0，＋∞) D.y＝sin(﹣eq \f(π,30)t﹣eq \f(π,3))，t∈[0，＋∞)
答案为：C
解析：由题意可得函数初相为eq \f(π,6)，排除B，D.又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝eq \f(2π,|ω|)＝60，所以|ω|＝eq \f(π,30)，即ω＝﹣eq \f(π,30).故选C.
14.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60].
答案为：10sin eq \f(πt,60).
解析：秒针1 s转eq \f(π,30)弧度，t s后秒针转了eq \f(π,30)t弧度，如图所示，sin eq \f(πt,60)＝eq \f(\f(d,2),5)，
所以d＝10sin eq \f(πt,60).
15.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋eq \f(π,4))＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________.
答案为：eq \f(1,120).
解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋eq \f(π,4))＋60，最高油价80美元，所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，即sin(150ωπ＋eq \f(π,4))＝﹣1，此时150ωπ＋eq \f(π,4)＝2kπ﹣eq \f(π,2)，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋eq \f(π,4)＝2π﹣eq \f(π,2)，解得ω＝eq \f(1,120).故ω的最小值为eq \f(1,120).
16.某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？
解：设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)，
易知A＝2，T1＝8，ω1＝eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)＋φ1＝eq \f(π,2)⇒φ1＝﹣eq \f(π,4)，所以y1＝6＋2sin(eq \f(π,4)x﹣eq \f(π,4)).
设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)，易知B＝2，T2＝8，ω2＝eq \f(π,4)，
eq \f(5π,4)＋φ2＝eq \f(π,2)⇒φ2＝﹣eq \f(3π,4)，所以y2＝8＋2sin(eq \f(π,4)x﹣eq \f(3π,4))..
每件盈利y＝y2﹣y1＝[8＋2sin(eq \f(π,4)x﹣eq \f(3π,4))]﹣[6＋2sin(eq \f(π,4)x﹣eq \f(π,4))]＝2﹣2eq \r(2)sin eq \f(π,4)x，
当sin eq \f(π,4)x＝﹣1，即eq \f(π,4)x＝2kπ﹣eq \f(π,2)(k∈Z)，x＝8k﹣2(k∈Z)时，y取最大值.
当k＝1，即x＝6时，y最大.所以估计6月份盈利最大.
微专题6 三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变换及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题.
一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
例1 (1)函数f(x)＝3sin x＋4cs x，x∈[0，π]的值域为________.
答案为：[﹣4,5]
解析：f(x)＝3sin x＋4cs x＝5(eq \f(3,5)sin x＋eq \f(4,5)cs x)＝5sin(x＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，0<φ∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ.∴当x＋φ＝eq \f(π,2)时，f(x)max＝5；
当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝﹣5sin φ＝﹣4.
∴f(x)的值域为[﹣4,5].
(2)已知函数f(x)＝2sin(2x﹣eq \f(π,3))﹣1，x∈[﹣eq \f(π,6),eq \f(π,4)]，则当x＝________时，f(x)取得最小值，且最小值为________.
答案为：﹣eq \f(π,12) ﹣3
解析：∵x∈[﹣eq \f(π,6),eq \f(π,4)]，∴﹣eq \f(2,3)π≤2x﹣eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)，由正弦函数图象(图略)知，
当2x﹣eq \f(π,3)＝﹣eq \f(π,2)，即x＝﹣eq \f(π,12)时，f(x)min＝﹣3.
反思感悟 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.
二、可化为y＝f(sin x)型的值域问题
例2 函数y＝cs 2x＋2sin x的最大值为( )
A.eq \f(3,4) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
答案为：C
解析：y＝cs 2x＋2sin x＝﹣2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x，则﹣1≤t≤1，
所以原函数可以化为y＝﹣2t2＋2t＋1＝﹣2(t﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(3,2)，
所以当t＝eq \f(1,2)时，函数y取得最大值为eq \f(3,2).故选C.
反思感悟 可化为y＝f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域.
三、含sin x±cs x，sin xcs x的最值问题
例3 求函数y＝sin x＋cs x＋sin xcs x的值域.
解：令t＝sin x＋cs x，则有t2＝1＋2sin xcs x，即sin xcs x＝eq \f(t2－1,2).
∴y＝f(t)＝t＋eq \f(t2－1,2)＝eq \f(1,2)(t＋1)2﹣1.
又t＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sin(x+eq \f(π,4))，∴﹣eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
故y＝f(t)＝eq \f(1,2)(t＋1)2﹣1(﹣eq \r(2)≤t≤eq \r(2)).
从而知f(﹣1)≤y≤f(eq \r(2))，即﹣1≤y≤eq \r(2)＋eq \f(1,2).
故函数的值域为[﹣1,eq \r(2)＋eq \f(1,2)].
反思感悟 通常采用换元的方法，令sin x±cs x＝t，将sin xcs x转化为关于t的解析式，利用二次函数求最值，但要注意换元后变量的取值范围.
四、函数图象平移距离的最小值
例4 将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为( )
A.eq \f(π,16) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4)
答案为：D
解析：伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为eq \f(π,4).故选D.
反思感悟 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值.
五、ω的最值
例5 已知函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f(eq \f(3π,8))＝1，当φ＝eq \f(π,4)ω时f(x)在区间[﹣eq \f(3π,8)，﹣]上单调递增，求ω的最大值和最小值之和.
解：函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f (eq \f(π,2))＝±eq \r(2)，f(eq \f(3,8)π)＝1.
当eq \f(π,2)﹣eq \f(3,8)π＝eq \f(T,8)时，T取最大值.此时ω最小，ωmin＝2.
当φ＝eq \f(π,4)ω时，f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋eq \f(π,4)ω)＝eq \r(2)sin ω(x+eq \f(π,4))，
函数f(x)＝eq \r(2)sin ω(x+eq \f(π,4))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx在区间[﹣eq \f(π,8),eq \f(π,16)]上单调递增，
故只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)ω≥－\f(π,2)，,\f(π,16)ω≤\f(π,2)，))即ω≤4.
综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.
反思感悟 根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围.
再练一课(范围：5.4.1～5.4.2)
1.函数y＝﹣2sin(eq \f(3,2)x﹣eq \f(π,6))的最小正周期是( )
A.3π B.eq \f(4π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,3)
答案为：B
解析：∵ω＝eq \f(3,2)，∴T＝eq \f(4π,3).
2.函数y＝sin πx的图象两相邻对称轴间的距离为( )
A.π B.2π C.1 D.2
答案为：C
解析：函数y＝sin πx的图象两相邻对称轴间的距离为eq \f(T,2)，又T＝eq \f(2π,π)＝2，∴eq \f(T,2)＝1.
3.函数y＝﹣xcs x的部分图象是( )
答案为：D
解析：令y＝f(x)，因为f(x)的定义域为R，f(﹣x)＝﹣(﹣x)cs(﹣x)＝xcs x＝﹣f(x)，所以函数y＝﹣xcs x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A，C选项；因为当x∈(0,eq \f(π,2))时，y＝﹣xcs x<0，所以排除B选项.
4.若函数y＝sin(x＋φ)的一个对称中心为(eq \f(π,6)，0)，则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为( )
A.x＝﹣eq \f(π,3) B.x＝eq \f(π,6) C.x＝eq \f(π,4) D.x＝eq \f(π,3)
答案为：B
解析：∵函数y＝sin(x＋φ)的对称中心和y＝cs(x＋φ)的对称轴在一条直线上，∴若y＝sin(x＋φ)的对称中心为(eq \f(π,6)，0)，则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为x＝eq \f(π,6).
5.(多选)已知函数f(x)＝sin(2x+eq \f(π,4))，则下列关于函数f(x)说法中不正确的是( )
A.最小正周期为T＝2π B.图象关于点(eq \f(π,8)，0)对称
C.在区间(0,eq \f(π,8))上为减函数 D.图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称
答案为：ABC
解析：对于函数f(x)＝sin(2x+eq \f(π,4))，它的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故A不正确；令x＝eq \f(π,8)，可得f(x)＝1，故函数的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称，不满足图象关于点(eq \f(π,8)，0)对称，故D正确，且B不正确；当x∈(0,eq \f(π,8))时，2x＋eq \f(π,4)∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，函数f(x)单调递增，故C不正确.
6.函数y＝sin(x＋π)，x∈[﹣eq \f(π,2),π]的单调递增区间为________.
答案为：[eq \f(π,2),π].
解析：因为y＝sin(x＋π)＝﹣sin x，所以，即求y＝sin x在[﹣eq \f(π,2),π]上的单调递减区间，易知为[eq \f(π,2),π].所以y＝sin(x＋π)在[﹣eq \f(π,2),π]上的单调递增区间为[eq \f(π,2),π].
7.函数y＝2sin(3x＋φ)(|φ|答案为：eq \f(π,4)
解析：由y＝2sin(3x＋φ)的对称轴为x＝eq \f(π,12)(k∈Z)，可知3×eq \f(π,12)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，又|φ|8.设函数f(x)＝cs(ωx﹣eq \f(π,6))(ω>0).若f(x)≤f (eq \f(π,4))对任意的实数x都成立，则f (eq \f(π,4))＝________，ω的最小值为________.
答案为：1 eq \f(2,3)
解析：∵f(x)≤f (eq \f(π,4))对任意的实数x都成立，∴当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最大值1.
即f (eq \f(π,4))＝cs(eq \f(π,4)ω﹣eq \f(π,6))＝1，∴eq \f(π,4)ω﹣eq \f(π,6)＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋eq \f(2,3)，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值eq \f(2,3).
9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，图象过点(eq \f(π,4)，eq \r(2)).
(1)求函数f(x)图象的对称中心；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解：(1)由已知得π＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝2.
将点(eq \f(π,4)，eq \r(2))代入解析式，得eq \r(2)＝2sin(2×eq \f(π,4)＋φ)，可知cs φ＝eq \f(\r(2),2)，
由0<φ<π可知φ＝eq \f(π,4)，于是f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,4)).
令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)﹣eq \f(π,8)(k∈Z)，
于是函数f(x)图象的对称中心为(eq \f(kπ,2)﹣eq \f(π,8)，0)(k∈Z).
(2)令﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得﹣eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z),
于是函数f(x)的单调递增区间为[﹣eq \f(3π,8)＋kπ，eq \f(π,8)＋kπ](k∈Z).
10.已知sin x＋sin y＝eq \f(1,3)，求M＝sin x﹣cs2y的取值范围.
解：由题意，得sin x＝eq \f(1,3)﹣sin y.由sin x∈[﹣1,1]，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤\f(1,3)－sin y≤1，,－1≤sin y≤1.))解得﹣eq \f(2,3)≤sin y≤1.
所以M＝eq \f(1,3)﹣sin y﹣cs2y＝sin2y﹣sin y﹣eq \f(2,3)＝(sin y﹣eq \f(1,2))2﹣eq \f(11,12)，
则当sin y＝eq \f(1,2)时，Mmin＝﹣eq \f(11,12)；当sin y＝﹣eq \f(2,3)时，Mmax＝eq \f(4,9).
故所求取值范围为[﹣eq \f(11,12)，eq \f(4,9)].
11.函数f(x)＝eq \f(sin x1－sin x,1－sin x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
答案为：D
解析：由题意，知sin x≠1，即f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+eq \f(π,2),k∈Z}，
此函数的定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
12.下列函数中，周期为π，且在[eq \f(π,4),eq \f(π,2)]上单调递减的是( )
A.y＝sin(2x+eq \f(π,2)) B.y＝cs(2x+eq \f(π,2)) C.y＝sin(x+eq \f(π,2)) D.y＝cs(x+eq \f(π,2))
答案为：A
解析：周期为π，排除C，D，
y＝sin(2x+eq \f(π,2))＝cs 2x，令t＝2x，∴y＝cs t，当x∈[eq \f(π,4),eq \f(π,2)]时，t∈[eq \f(π,2)，π]，
又y＝cs t在[eq \f(π,2)，π]上单调递减，故y＝cs 2x在[eq \f(π,4),eq \f(π,2)]上单调递减，故A正确.
13.已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，eq \f(π,2)]上单调递增，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )
A.{eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1} B.{eq \f(1,3)，eq \f(1,6)} C.{eq \f(1,3)，eq \f(2,3)} D.{eq \f(1,6)，eq \f(2,3)}
答案为：A
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)≥\f(π,2)，,3ωπ＝kπ，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<ω≤1，,ω＝\f(k,3)，))其中k∈Z，则ω＝eq \f(1,3)，ω＝eq \f(2,3)或ω＝1，
即ω的取值集合为{eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1}.
14.在(0,2π)内使sin x>|cs x|成立的x的取值范围是( )
A.(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)) B.(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))∪(eq \f(5π,4)，eq \f(3π,2)) C.(eq \f(π,4)，eq \f(π,2)) D.(eq \f(5π,4)，eq \f(7π,4))
答案为：A
解析：∵sin x>|cs x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π).在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图象，如图.
观察图象易得使sin x>|cs x|成立的x∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)) ，故x的取值范围是(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)) .
15.已知y＝sin ωx(ω>0)在(-eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))上单调，则ω的取值范围为________.
答案为：（0，eq \f(3,2)].
解析：由y＝sin ωx(ω>0)的图象(图略)知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(T,4)≥\f(π,4)，,\f(T,4)≥\f(π,3)，))即T≥eq \f(4π,3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,ω)≥\f(4π,3)，,ω>0，))解得0<ω≤eq \f(3,2).
16.已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)定义域和值域；
(2)判断奇偶性与周期性；
(3)写出单调区间.
解：(1)由sin x≠0得定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
又0<|sin x|≤1，所以值域为[0，＋∞).
(2)由(1)知，定义域关于原点对称，
又f(﹣x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)是偶函数.
又T＝π时，f(x＋T)＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且T＝π.
(3)因为y＝|sin x|的单调递增区间是[kπ，kπ+eq \f(π,2)](k∈Z)，
单调递减区间是[kπ-eq \f(π,2)，kπ](k∈Z)，
所以f(x)＝的单调递增区间是[kπ-eq \f(π,2)，kπ)(k∈Z)，
单调递减区间是(kπ，kπ+eq \f(π,2)](k∈Z).
再练一课(范围：§5.5)
1.化简sin 162°cs 78°＋cs 162°sin 78°得( )
A.﹣eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.﹣eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
答案为：C
解析：sin 162°cs 78°＋cs 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝﹣sin 60°＝﹣eq \f(\r(3),2).
2.函数y＝2cs2(x+eq \f(π,4))﹣1是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
答案为：C
解析：y＝2cs2(x+eq \f(π,4))﹣1＝cs(2x+eq \f(π,2))＝﹣sin 2x，显然是奇函数，最小正周期为π.
3.已知α，β∈(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))，且tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,3)或﹣eq \f(2π,3) B.﹣eq \f(2π,3) C.﹣eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.﹣eq \f(π,3)
答案为：B
解析：由题意可得tan α＋tan β＝﹣3eq \r(3)，tan αtan β＝4；
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)；
因为α，β∈(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))，tan α＋tan β＝﹣3eq \r(3)<0，tan αtan β＝4>0，
所以α，β∈(-eq \f(π,2),0)，所以α＋β∈(﹣π，0).因为tan(α＋β)＝eq \r(3)，所以α＋β＝﹣eq \f(2π,3).
4.(多选)下列说法中正确的是( )
A.存在这样的α和β的值，使得cs(α＋β)＝cs αcs β＋sin αsin β
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cs(α＋β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C.对任意的α和β，有cs(α＋β)＝cs αcs β﹣sin αsin β
D.存在这样的α和β的值，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β
答案为：ACD
解析：对于A，当α＝β＝0时，cs(0＋0)＝cs 0cs 0＋sin 0sin 0＝1，故正确；
对于B，当α＝β＝2kπ(k∈Z)时，sin α＝sin β＝0，cs α＝cs β＝1，cs(α＋β)＝1，则cs(α＋β)＝cs αcs β＋sin α·sin β，故错误；
对于C，对任意的α和β，有cs(α＋β)＝cs αcs β﹣sin α·sin β，这是两角和的余弦公式，故正确；
对于D，当α＝0，β＝eq \f(π,2)时使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故正确，故选ACD.
5.已知函数f(x)＝f(π﹣x)，且当x∈(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))时，f(x)＝x＋sin x.设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A.aC.c答案为：D
解析：由已知得函数f(x)在(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))上单调递增.
因为π﹣2∈(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))，π﹣3∈(-eq \f(π,2),eq \f(π,2))，π﹣3<1<π﹣2，
所以f(π﹣3)6.已知cs α＝﹣eq \f(2,3)且π<α答案为：eq \f(\r(30),6).
解析：已知cs α＝﹣eq \f(2,3)且π<α根据二倍角公式得到cs α＝1﹣2sin2eq \f(α,2)⇒sin2eq \f(α,2)＝eq \f(5,6)，
因为π<α0，故sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(30),6).
7.若方程sin x﹣eq \r(3)cs x＝c有实数解，则c的取值范围是________.
答案为：[﹣2,2]
解析：关于x的方程sin x﹣eq \r(3)cs x＝c有解，即c＝sin x﹣eq \r(3)cs x＝2sin(x-eq \f(π,3))有解，
由于x为实数，则2sin(x-eq \f(π,3))∈[﹣2,2]，故有﹣2≤c≤2.
8.化简：eq \f(sin θ＋sin \f(θ,2),cs θ＋cs \f(θ,2)＋1)＝________.
答案为：tan eq \f(θ,2)
解析：eq \f(sin θ＋sin \f(θ,2),cs θ＋cs \f(θ,2)＋1)＝eq \f(2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2)＋sin \f(θ,2),2cs2\f(θ,2)－1＋cs \f(θ,2)＋1)＝tan eq \f(θ,2).
9.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点.已知A，B的横坐标分别为eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，求cs eq \f(α,2)＋sin eq \f(β,2)＋tan eq \f(α,2)的值.
解：依题意，得cs α＝eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(2,3)，因为α，β为锐角，
所以cs eq \f(α,2)＋sin eq \f(β,2)＋tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2))＋eq \r(\f(1－cs β,2))＋eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(\r(2)＋\r(6),2).
10.已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2＋2cs2x﹣1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的单调区间.
解：由已知得，f(x)＝sin 2x＋cs 2x＋1＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))＋1.
(1)函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得，kπ﹣eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
又x∈[0，eq \f(π,2)]，∴ x∈[0，eq \f(π,8)]，∴f(x)的单调递增区间为[0，eq \f(π,8)]，
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)得，kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)(k∈Z)，
又x∈[0，eq \f(π,2)]，∴x∈[eq \f(π,8)，eq \f(π,2)]，∴f(x)的单调递减区间为[eq \f(π,8)，eq \f(π,2)].
11.若sin(x+eq \f(π,3))＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(π,3)-2x)等于( )
A.﹣eq \f(7,9) B.eq \f(7,9) C.eq \f(2\r(2),3) D.﹣eq \f(2\r(2),3)
答案为：A
解析：因为sin(x+eq \f(π,3))＝eq \f(1,3)，(eq \f(π,6)-x)＋(x+eq \f(π,3))＝eq \f(π,2)，所以cs(eq \f(π,6)-x)＝sin(x+eq \f(π,3))＝eq \f(1,3)；
cs(eq \f(π,3)-2x)＝cs 2(eq \f(π,6)-x)＝2cs2(eq \f(π,6)-x)﹣1＝﹣eq \f(7,9).
12.函数y＝2sin xcs x﹣eq \r(3)cs 2x的单调递增区间是( )
A.[kπ﹣eq \f(5π,12)，kπ＋eq \f(π,12)](k∈Z) B.[kπ﹣eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)
C.[kπ﹣eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z) D.[kπ﹣eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(5π,12)](k∈Z)
答案为：D
解析：y＝2sin xcs x﹣eq \r(3)cs 2x＝sin 2x﹣eq \r(3)cs 2x＝2sin(2x﹣eq \f(π,3))，
由﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x﹣eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得，kπ﹣eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴函数的单调递增区间是[kπ﹣eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(5π,12)](k∈Z).
13.已知cs2α﹣cs2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α﹣β)等于( )
A.﹣eq \f(a,2) B.eq \f(a,2) C.﹣a D.a
答案为：C
解析：sin(α＋β)sin(α﹣β)
＝(sin αcs β＋cs αsin β)(sin αcs β﹣cs αsin β)＝sin2αcs2β﹣cs2αsin2β
＝(1﹣cs2α)cs2β﹣cs2α(1﹣cs2β)＝cs2β﹣cs2α＝﹣a.
14.若eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1,2)，则sin α＋cs α的值为________.
答案为：eq \f(7,5)
解析：∵eq \f(sin α,1＋cs α)＝tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，∴sin α＋cs α＝eq \f(2tan \f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＋eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq \f(7,5).
15.设当x＝x0时，函数f(x)＝sin x﹣2cs x取得最大值，则cs x0＝________.
答案为：﹣eq \f(2\r(5),5)
解析：由辅助角公式，得f(x)＝sin x﹣2cs x＝eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)sin x﹣eq \f(2\r(5),5)cs x)＝eq \r(5)sin(x﹣φ)，其中sin φ＝eq \f(2\r(5),5)，cs φ＝eq \f(\r(5),5).由x＝x0时，函数f(x)取得最大值，得sin(x0﹣φ)＝1，x0﹣φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x0＝2kπ＋eq \f(π,2)＋φ(k∈Z)，所以cs x0＝cs(2kπ＋eq \f(π,2)＋φ)＝﹣sin φ＝﹣eq \f(2\r(5),5).
16.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cs217°﹣sin 13°cs 17°；
②sin215°＋cs215°﹣sin 15°cs 15°；
③sin218°＋cs212°﹣sin 18°cs 12°；
④sin2(﹣18°)＋cs248°﹣sin(﹣18°)cs 48°；
⑤sin2(﹣25°)＋cs255°﹣sin(﹣25°)cs 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α＋cs2(30°﹣α)﹣sin αcs(30°﹣α)＝______，并证明你的结论.
(参考公式：sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β，cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β，
sin 2α＝2sin αcs α，cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α)
解：(1)选择②式：sin215°＋cs215°﹣sin 15°cs 15°＝1﹣eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(3,4)，
所以该常数为eq \f(3,4).
(2)三角恒等式为sin2α＋cs2(30°﹣α)﹣sin αcs(30°﹣α)＝eq \f(3,4)，
证明如下：sin2α＋cs2(30°﹣α)﹣sin αcs(30°﹣α)
＝sin2α＋(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)2﹣sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋(eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α)2﹣sin α(eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α)
＝sin2α＋eq \f(3,4)cs2α﹣eq \f(1,4)sin2α
＝eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＝eq \f(3,4).
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
t
﹣eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
s
0
4
0
﹣4
0
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
温度(℃)
36.8
36.7
36.6
36.7
36.8
37
37.2
37.3
37.4
37.3
37.2
37
36.8
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
t
0
eq \f(1,6)
eq \f(5,12)
eq \f(2,3)
eq \f(11,12)
1
2πt＋eq \f(π,6)
eq \f(π,6)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2π＋eq \f(π,6)
6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))
3
6
0
﹣6
0
3
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1