人教A版高中数学必修第一册第1章1-4-2充要条件课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第1章1-4-2充要条件课时学案，共16页。
1.4.2　充要条件1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(数学抽象)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(数学运算)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(逻辑推理)老赵邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老赵说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老赵愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？知识点　充要条件(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；②充分不必要条件，即p⇒q且qp．③必要不充分条件，即pq且q⇒p．④既不充分也不必要条件，即pq且qp．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．(2)“x1，所以a+b>2，ab>1， 即p⇒q成立；反之，若a，b满足a+b>2，ab>1， 如a＝3，b＝12，但不满足 a>1且b>1，即q⇒p不成立，所以p是q的充分不必要条件．故选A．(2)由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．] 类型2　充要条件的证明【例2】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)．[证明]　先证必要性成立：若a＋b＝1，则a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝1·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝0．再证充分性成立：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．由ab≠0, 得a≠0且b≠0．∴a2－ab＋b2＝a-b22＋3b24≠0．∴只有a＋b－1＝0, 即有a＋b＝1．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．　充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．[跟进训练]2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0．证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 类型3　充要条件的应用【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．思路导引：p是q的必要不充分条件　逻辑推理　{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}．[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1-m≥-2，1+m-2，1+m≤10，解得m≤3．又m>0，所以实数m的取值范围为{m|00)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB．所以1-m≤-2，1+m>10　或1-m9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．[跟进训练]3．从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|a)≤x≤a＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值范围；若a不存在，请说明理由．已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解]　由题意知，A≠∅，B＝{x|1≤x≤3}．当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a-1≥1，a1，a≤3， 解得2≤a≤3．所以实数a的取值范围是2≤a≤3．当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a≥1， a+21， a+2≤3，无解．故不存在a满足题意．当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a≥1， a+31，　　a+3≤3，该不等式组无解，故不存在a满足题意．综上可知，a的取值范围为{a|2≤a≤3}．1．“x∈Q”是“x∈N”的(　　)A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件A　[因为x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件，故选A．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．]3．若“x0或a－b