八年级上学期数学第三次月考试卷 (30)

这是一份八年级上学期数学第三次月考试卷 (30)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数中，无理数是（ ）
A. －2B. πC. D. 0.1010010001
【答案】B
【解析】
【详解】∵ -2是有理数，
∴不符合题意；
∵π是无理数，
∴符合题意；
∵，是有理数，
∴不符合题意；
∵ 0.1010010001是有限小数，是有理数，
∴不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ）
A. （2，1）B. （2，－1）C. （－2，1）D. （－2，－1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系的特点，第四象限的点，横坐标为正、纵坐标为负来判定．
【详解】∵点在第四象限
∴点的横坐标为正、纵坐标为负
符合条件的为：B
故选：B
【点睛】本题考查象限点的特点，注意，象限在坐标轴上是按照逆时针方向进行划分的．
3. 如图，．，则的度数为（ ）
A. 58°B. 112°C. 120°D. 132°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
4. 某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：
根据表中数据，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】从平均数和方差进行判断，即可得
【详解】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
【点晴】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
5. 已知一次函数的图像过点和，则k的值为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点和代入得出，然后解方程组即可得出答案．
【详解】解：把点和代入得：
，
得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是根据题意得出．
6. 在△ABC中，a，b，c分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义计算判断即可．
【详解】因为，
所以能判断为直角三角形，
故A不符合题意；
因为，
设，
则
所以不能判断为直角三角形，
故B符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故C不符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的定义即有一个角是直角的三角形是解题的关键．
7. 如图，一艘海轮位干灯塔P北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？（ ）
A. 北偏西方向，距离海轮40海里处B. 南偏东方向，距离海轮40海里处
C. 北偏西方向，距离海轮海里处D. 南偏东方向，距离海轮海里处
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作，则在中，通过直角三角形，计算出的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出．
【详解】解：作于C点，
∵A在P的北偏东方向，
∴，
∴，
又∵B在P南偏东方向上，
∴，灯塔P位于海轮的北偏西方向上，
∴，
∴，，（海里）
∴在中，，
∴（海里）
∵在中，，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴（海里），
∴（海里）．
故选：C．
【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
8. 如图，若，且，则一次函数的大致图像是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解．
【详解】解：∵，
∴k，b同号，
∵，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．
9. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
【详解】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若直线与有公共点，则k的值不可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数图象，把A点、B点和C点坐标分别代入中求出对应的k的值，从而得到直线与有交点时，k的取值范围，即可解答．
【详解】解：如图，
∵，
∴直线经过点，
把代入得，解得：，
把代入得，解得：，
把代入得，解得：，
∴当直线与有公共点时，k的取值范围是．
故k的值不可能是，
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，熟悉掌握待定系数法是解题的关键．
二、填空题（共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度．
【详解】点（2，-3）到x轴的距离为3．
故答案是：3．
【点睛】考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
12. 若m，n满足方程组，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】用两个方程相减即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用．
13. 某校规定学生的数学学期综合成绩由平时、期中和期末三项成绩按的比例计算所得．若小航同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、85分和90分，则他本学期数学学期以合成绩是____________分．
【答案】
【解析】
【分析】按的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
【详解】解：本学期数学学期综合成绩（分）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14. 一次函数的图象过一、二、三象限，则____________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一次函数的定义和性质列式计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、三象限，
∴，
解得：或，
∵，
∴不符合题意舍去，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出点D的坐标为，设点P的坐标为：，分两种情况：或，求出a的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点，，点D是线段的中点，
∴点D的坐标为，，
∵点，，
∴轴，
设点P的坐标为：，
当时，，
解得：或，
∵，
∴舍去，
∴此时点P的坐标为：；
当时，，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，平面直角坐标系中点的特点，解题的关键是设出点P的坐标，列出方程，注意进行分类讨论．
16. 如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】以为边作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系可得当A，D，E三点共线时，的值最大，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，利用勾股定理求出，，，再根据等边三角形的性质求出的面积．
【详解】解：以为边作等边，连接．
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴的最大值为8，
∴当A，D，E三点共线时，的值最大，且为8，
如图，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
根据等边三角形的性质可得，，
∴中边上的高，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，利用三边关系得到最大时的情形．
三、解答题（共72分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式除法运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．
18. 解方程组
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简二元一次方程组，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）用加减消元法解三元一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
得：，解得：，
把代入①，解得：，
∴原方程组解为：．
【小问2详解】
解：
原方程组可变为，
得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为：．
【小问3详解】
解：，
得：，
得：，
把代入得：，解得：，
把，代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次或三元一次方程组，熟练掌握加减消元法的一般步骤，准确进行计算，是解题的关键，
19. 如图，已知△ABC中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，．（保留作图应迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可知，作的垂直平分线交于点D即可．
【详解】解：作法：分别以点B和点C为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点并延长，交于点E，交于点D，连接，如图所示，
∵垂直平分，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了复杂作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是得出点D是的垂直平分线与的交点．
20. 为了加强对青少年的消防安全教育，11月底我校开展了应急疏散消防演练并进行安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：87、99、86、89、91、91、95、96、87、97、91、97、96、86、96、89、100、91、99、97
（1）众数： 分；中位数： 分．
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计我校1200名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【答案】（1）91；93
（2）50% （3）600
【解析】
【分析】（1）由众数和中位数的定义求出结果即可；
（2）先求出优秀的总人数，然后求所占百分比即可；
（3）用总人数乘以（2）中结论即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据可知，得91分的学生人数最多，出现4次，
∴众数为91，
共有20名学生，所以中位数为第10、11位学生成绩平均数，
∵，，
∴第10、11位学生成绩分别为91，95，
∴中位数为：；
故答案为：91；93．
【小问2详解】
解：95分及以上的人数为：，
∴，
“优秀”等级所占的百分率为；
【小问3详解】
解：（人），
估计该校1200名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为600人．
【点睛】本题主要考查对数据的分析，包括求众数、中位数、优秀人数所占的百分比，估计总人数等，理解题意，综合运用这些知识的是解题关键．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：．
【答案】（1）65° （2）证明见解析
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质可得∠CBD=∠A+∠ACB=130°，再根据BE平分∠CBD，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BEC=25°，从而得到∠F=∠BEC，即可求证．
【小问1详解】
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴；
【小问2详解】
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠CBE=65°，
∴∠BEC=90°－65°=25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F=∠BEC，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
（1）请用待定系数法求出直线的函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式求出B点坐标，根据A点和B点坐标计算面积即可；
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：．
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为：，
∴．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的图象和性质是解题的关键．
23. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，两车距离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）货车的速度为 ；段的函数表达式为 ．
（2）轿车出发后，用了多长时间追上货车？
（3）当货车行驶多长时间，两车相距15千米？
【答案】（1）60千米/小时；
（2）轿车出发2.4小时追上货车
（3）轿车行进过程中，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米
【解析】
【分析】（1）根据图象可知货车行驶时间与路程，根据“速度=路程÷速度”即可求货车的行驶速度；根据图象可知轿车比货车晚出发1.5小时，得出点B的坐标为，根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设轿车出发x小时追上货车，根据相遇时两车距离甲地的路程相等，列方程，解方程即可；
（3）设在轿车行进过程，轿车行驶x小时，两车相距15千米，分两种情况：①两车相遇之前，②是两车相遇之后，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据图象可得：货车的行驶速度为：（千米/小时），
∵轿车比货车晚出发1.5小时，
∴点B的坐标为：，
设段的函数表达式为，
把，代入得：，
解得：，
∴段的函数表达式为．
故答案为：60千米/小时；．
【小问2详解】
解：∵轿车在段的速度是：（千米/小时），
设轿车出发x小时追上货车，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，
∴B点对应的数据为：1.5，
∴，
解得：，
∴轿车出发2.4小时追上货车．
【小问3详解】
解：设在轿车行进过程，轿车行驶x小时，两车相距15千米，
两车相遇之前，得，
解得，
两车相遇之后，得，
解得，
答：在轿车行进过程中，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
【点睛】本题考查了变量之间的关系，求一次函数解析式，一元一次方程的应用，根据图象求出两车的速度以及根据等量关系建立一元一次方程是解题的关键．
24. （1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）的周长的最小值为：米
【解析】
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出此时点D为线段的中点，最后根据中点坐标公式，求出结果即可；
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，证明，得出，说明点在直线上，根据中点坐标公式说明点F在直线上，作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，求出其最小值，即可得出的周长最小值．
【详解】解：（1）∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
（2）解：把，代入得，
把代入得，解得，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴当D为中点时，将分成面积相等的两部分，
∴点D的坐标为：，即．
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设点，
∵点为的中点，，
∴，即，
令，，
则，
∴点F在直线上，
设直线与轴交于点P，与轴交于点Q，
则P点坐标为，Q点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
∴轴，
∵，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
又∵为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴的周长的最小值为：米．
甲
乙
丙
丁
平均分
95
93
95
94
方差
3.2
3.2
4.8
5.2
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
3
3
2
1