八年级上学期数学第三次月考试卷 (4)

这是一份八年级上学期数学第三次月考试卷 (4)，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（ ）
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．以上都不对
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B．C．D．
4．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图，、是、的两条角平分线，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，是的平分线，则图中与相等的线段有（ ）
A．B．C．和D．和
7．如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（ ）
A．4B．C．15D．8
9．如图，是的角平分线，于点E，，，，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
10．如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
B．C．D．
填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若，，则 ．
12．已知三角形三边长均为整数，若其中两边长分别是3和5，则第三边的长可能为 ．（填一个你认为正确的结果）
13．在等腰中，有一个内角为，则顶角为 ．
14．按如图所示的程序运算，如果输入x的值是，那么输出的数值是 ．
15．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．
16．如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是 ．
17．如图，在中，已知点分别是边上的中点，且，则的值为 ．
18．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
如图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出的系数之和为 ．
三、解答题（共66分）
19．（12分）分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（8分）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)， 其中，．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
(2)直接写出，，三点的坐标：（______），（______），（______）
(3)求四边形的面积．
22．（6分）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
23．（7分）如图①，是等边三角形，，分别交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，将绕着点逆时针旋转适当的角度，使点在的延长线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
24．（8分）已知：是等边三角形，点D、E分别为边上的点，且，连接，相交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)延长到点G，使，连接，求证．
25．（9分）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1： ，
方法2： ；
(2)从中你得到什么等式？ ；
(3)运用你发现的结论，解决下列问题：
①若，，则 ．
②若，，则 ．
③若，求的值．
26．（9分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接，易证，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
(2)如图2，是的中线，点在边上，且，求证：；
(3)如图3，在四边形中，，连接，，试猜想线段，，并予以证明．
参考答案及解析
1．D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据完全平方公式可判断选项D．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线．
【详解】解：作，
∴，，
∵，即，
∴，
即线段是三角形的中线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分．
3．A
【分析】通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△，根据全等三角形对应角相等得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D；
②作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角．
在与中，
，
∴，
∴，即运用的判定方法是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．
4．C
【分析】根据题意，作出图形，即可．
【详解】解：如图所示，满足题意的三角形共有4个；

故选C．
【点睛】本题考查网格中画全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
5．B
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据、分别平分、，可求出的度数，由三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵、是、的两条角平分线，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．掌握三角形内角和定理是解题的关键．也考查了角平分线的定义．
6．C
【分析】根据是的平分线，所以，利用等腰三角形的性质得，再利用三角形内角和定理计算出，于是得到，然后计算出，从而得到，所以，可得结论．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中与相等的线段有和．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7．D
【分析】利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果．
【详解】解：由折叠可得：，
∵长方形中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
8．D
【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值.
【详解】解：连接，如图，
,

,
,
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，如图，根据角平分线的性质得，再利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
10．B
【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值，
当垂直于即移到位置时，的长度最小，
的最小值即为的长度，
，
，即的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
11．0
【分析】本题考查因式分解的应用，利用整体代入的思想计算整式的加减是解题的关键，把通过提公因式，完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：0．
12．3，4，5，6，7（任选其一即可）
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，即可求解．
【详解】解：三角形两边长分别是3和5，
第三边的长，
即第三边的长，
三角形三边长均为整数，
第三边的长可能为3，4，5，6，7．
故答案为：3，4，5，6，7（任选其一即可）．
13．或
【分析】根据等腰中，有一个内角为，并没说明此内角是顶角还是底角，故需分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵等腰中，有一个内角为，
∴当为顶角时，其顶角为；
当为底角时，其顶角为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和为和等腰三角形等这对等角的性质进行分类讨论是解题的关键．
14．4
【分析】本题主要是考查了列代数式，以及代数式求值，根据题意列出代数式，把代入求值即可．
【详解】解：由题意可得输出的结果为：，
当时，
原式．
故答案为：4．
15．/250度
【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为
∴
故答案为：
16．1
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据，，得出，得，利用得到，由全等三角形的对应边相等得到，再由求解，是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，
则．
故答案为：1．
17．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，即可求得．
【详解】解：∵点是边上的中点，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴
∴，
即，
．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形面积，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键．
18．64
【分析】本题考查了完全平方公式问题，观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．根据规律得出的展开式，进而求得系数和．
【详解】解：，
∴的系数之和为
故答案为：64．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提取公因式即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用平方差公式分解即可；
（4）原式展开合并后，利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
（4）原式
．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值；
（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式，进行化简，最后将字母的值代入进行计算即可求解；
（2）先根据多项式乘以多项式，完全平方公式，多项式除以单项式，进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
当，时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
21．(1)图见解析
(2)1，5；1，0；4，3
(3)
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用所画图形得出各点坐标即可；
（3）利用面积公式得出答案．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：，，；
故答案为：1，5；1，0；4，3；
（3）四边形的面积为：．
22．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）利用平行线的性质及判定定理即可求证结论．
（2）利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质；
（1）由等边三角形的性质和平行线的性质很容易得出的三个内角都是，则可证明是等边三角形；
（2）先由等边三角形的性质得出，然后证明，得出，然后通过等量代换即可得到．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形．
（2）
理由：和是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得；
（3）先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，推出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)，
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值；
（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②根据完全平方公式变形，即可求解；
③设，，则，，然后利用，即可求解．
【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，
即，
故答案为：，；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，
，
故答案为：；
（3）①，
；
②∵，
，
③设，，则，，
．
26．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，再根据，可得结论；
（2）如图2中，延长到，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，可得结论；
（3）结论：．如图3中，延长交的延长线于点．利用全等三角形的性质证明，，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，延长到点，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）证明：如图2中，延长到，使，连接．
同法可证，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：结论：．
理由：如图3中，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．