适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习专题检测5解析几何文（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习专题检测5解析几何文（附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(2023四川凉山期末)设直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay-1=0,若l1⊥l2,则a=( )

A.0B.0或-1C.1D.-1
2.直线x+y=2与圆(x-2)2+(y-3)2=6交于A,B两点,则|AB|=( )
A.3B.C.D.2
3.(2023江西南昌一模)数学探究课上,某同学用拋物线C1:y2=-2px(p>0)和C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示,若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在拋物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=4,则p=( )
A.2B.3C.4D.6
4.(2023全国甲,文9)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A.B.C.D.
5.若点P(-3,1)为圆x2+y2=16的弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为( )
A.x+3y-10=0B.3x+y+8=0
C.x-3y+10=0D.3x-y+10=0
6.(2023河南郑州一模)设F1,F2为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,Q为双曲线右支上一点,点P(0,2).当|QF1|+|PQ|取最小值时,|QF2|的值为( )
A.B.C.-2D.+2
7.(2023宁夏吴忠一模)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为( )
A.5B.6
C.D.
8.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠FBD=30°,△ABD的面积为2,则p=( )
A.1B.
C.D.2
9.(2023陕西安康二模)过抛物线x2=6y的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,且,则直线l的方程为( )
A.y=±x+B.y=2x+
C.y=±2x-D.y=x+
10.(2023江西吉安一模)椭圆E:=1(a>b>0)的内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P(1,1),满足=2=2,若直线AB的斜率为-,则椭圆的离心率等于( )
A.B.C.D.
11.(2023山东潍坊二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F1作C的一条渐近线的垂线,垂足为点D,且|DF2|=2|OD|,则C的离心率为( )
A.B.2
C.D.3
12.已知椭圆C:=1,过其左焦点F1作直线l交椭圆C于P,A两点,取P点关于x轴的对称点B.若G点为△PAB的外心,则=( )
A.2B.3
C.4D.以上都不对
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点,且|OT|=2,则|PF|= .
14.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为 .
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线C上的两个动点,且AF⊥AB,∠ABF=30°,设线段AB的中点M在准线l上的投影为点N,则的值是 .
16.(2023陕西西安一模)在生活中,可以利用如下图的工具绘制椭圆,已知O是滑竿上的一个定点,D可以在滑竿上自由移动,线段|OA|=|AD|=3,点E满足=2,则点E所形成的椭圆的离心率为 .
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2023天津,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
18.(12分)(2023陕西铜川二模)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=2,若过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)求证:直线BC过定点.
19.(12分)(2023陕西渭南二模)在直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+y2=1的右顶点、下顶点、右焦点分别为点A,B,F.
(1)若直线BF与椭圆E的另一个交点为C,求四边形ABOC的面积.
(2)设M,N是椭圆E上的两个动点,直线OM与ON的斜率之积为-,若点P满足+2,问:是否存在两个定点G,H,使得|PG|+|PH|为定值?若存在,求出G,H的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知O为坐标原点,椭圆Γ:=1(a>b>0)的右顶点为A,离心率为.动直线l:y=(x-1)与Γ相交于B,C两点,点B关于x轴的对称点为B',点B'到Γ的两焦点的距离之和为4.
(1)求Γ的标准方程.
(2)若直线B'C与x轴交于点M,△OAC,△AMC的面积分别为S1,S2,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
21.(12分)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0),A1,A2分别是C的左、右端点,F2是右焦点.椭圆C过点(0,),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线x=4上有两个点M,N,且=0,
①求△MNF2面积的最小值;
②连接MA1交椭圆C于另一点P,证明:P,A2,N三点共线.
22.(12分)(2023江西上饶二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)如图,点P(x0,y0)(x0>4)是抛物线C上的动点,点B,C在y轴上,圆Γ:(x-2)2+y2=4内切于△PBC,求△PBC面积的最小值.
专题检测五 解析几何
1.A 解析由直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay-1=0,因为l1⊥l2,可得a×1+1×a=0,解得a=0.故选A.
2.B 解析圆心(2,3)到直线x+y=2的距离为d=,又,故|AB|=.
故选B.
3.D 解析因为2|PQ|=4,即|PQ|=2,由抛物线的对称性知点P的横坐标xP=-1,由抛物线定义可知,|PF1|=-xP,即4=-(-1),解得p=6,故选D.
4.D 解析由e=,得c=a,所以b==2a.所以双曲线的渐近线为y=±x=±2x.由题意知,双曲线的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,所以满足条件的渐近线为y=x=2x.又圆心(2,3)到渐近线2x-y=0的距离d=,圆的半径r=1,所以|AB|=2=2.故选D.
5.D 解析圆心为O(0,0),直线OP的斜率为kOP=-,因为OP⊥AB,所以直线AB的斜率为kAB=3,故直线AB的方程为y-1=3(x+3),即3x-y+10=0.
6.A 解析
由双曲线定义得|QF1|-|QF2|=2a=2,故|QF1|+|PQ|=|PQ|+|QF2|+2,如图所示,当P,Q,F2三点共线,即Q在点M位置时,|QF1|+|PQ|取最小值.∵F2(2,0),P(0,2),故直线PF2的方程为y=-x+2,联立得点Q3--1,故|QF2|=,故选A.
7.C 解析
设A,B在准线上的射影分别为点M,N,准线与横轴交于点H,则FH=p,由于点F是AC的中点,|AF|=4,∴AM=4=2p,∴p=2.设BF=BN=x,则,即,解得x=.
∴AB=AF+BF=4+.
8.A 解析如图,设准线与x轴交点为H,
由∠FBD=30°,得圆的半径|FA|=|FB|=2|FH|=2p,|BD|=2|BH|=2×|FB|cs∠FBD=2p,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以S△ABD=|BD|·d=p·2p=2,解得p=1,故选A.
9.A 解析F0,,经分析,直线l的斜率必存在.
设直线l的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).
∴消去y,整理得x2-6kx-9=0,显然Δ>0成立,则x1+x2=6k,x1x2=-9.
∵,∴-x1=x2,代入x1+x2=6k,x1x2=-9,消元得k2=,
∴k=±,∴直线l的方程为y=±x+.
故选A.
10.B 解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),∵P(1,1),且=2,∴(1-x1,1-y1)=2(x-1,y-1),即解得C,由A,C两点在椭圆E上,有
①-4×②,得=-3,即2b2x1+2a2y1+a2b2-3a2-3b2=0,
同理可得2b2x2+2a2y2+a2b2-3a2-3b2=0,
∴直线AB的方程为2b2x+2a2y+a2b2-3a2-3b2=0,
从而直线AB的斜率为-=-,由e2=1-,可得e=.
故选B.
11.C 解析如图所示,双曲线C的左焦点F1(-c,0),渐近线l1的方程为bx-ay=0.
由题意|DF1|==b,|OD|==a.
在Rt△DOF1中,∠ODF1=,∴cs∠DOF1=,
在△DOF2中,|OD|=a,|DF2|=2a,|OF2|=c,cs∠DOF2=cs(π-∠DOF1)=-cs∠DOF1=-.
由余弦定理得
cs∠DOF2==-,化简得c2=5a2,即c=a.
所以双曲线C的离心率为e=.故选C.
12.C 解析(方法一)由题意,得F1(-1,0),显然直线PA的斜率存在且不为0,设其方程为y=k(x+1)(k≠0),
由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),A(x2,y2),故x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2k=,故|PA|=,设PA的中点为H,则其坐标为,即,显然x轴垂直平分PB,故可设G(x3,0),又GH直线方程为y-=-x+.
令y=0,解得x=,故|GF1|=+1=,故=4.
(方法二)设A(x1,y1),P(x2,y2),AP中点为M(x0,y0),则由中点弦斜率公式得kAP·kOM=-,又由题设可知kAP·kGM=-1,∴两式相除得kGM=kOM=,则直线MG的方程为y-y0=(x-x0),显然x轴垂直平分PB,故G点在x轴上,令y=0,得x=,∴G点坐标为,0,易知x0>-1,|GF1|=+1,又由焦半径公式|PF左|=a+exP,得|PA|=|AF1|+|F1P|=2+x1+2+x2=x0+4,则=4.
13.5 解析不妨设点P在第一象限,PQ与y轴交于点M,则易知△MQT∽△OFT,则,又OF=MQ=1,OT=2,所以MT=2.所以点P,Q的纵坐标都为4,代入抛物线方程求得P(4,4),故PF=4+1=5.
14. 解析因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a的对称直线为(3-a)x-2y+2a=0.
由题意得≤1,整理解得≤a≤.
15. 解析如图所示,作BE⊥l于点E,AD⊥l于点D,
设|AF|=a,|BF|=b,
由抛物线定义,得|AF|=|AD|,|BF|=|BE|,在梯形ABED中,2|MN|=|AD|+|BE|=a+b,由AF⊥AB,∠ABF=30°,得b=2a,则|MN|=,又|AB|=a,
故.
16. 解析(方法一)由|AD|=3,=2,得|AE|=2,以点O为坐标原点,直线OD为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,过点E作PC⊥OD于点C,交OA的延长线于点P,过点A作AB⊥PE于点B,有AB∥x轴,而|OA|=|AD|,即∠PAB=∠AOD=∠ADO=∠EAB,则点B是PE的中点,且有|AP|=|AE|=2,因此|OP|=5,|PE|=2|BE|=4|EC|,即|PC|=5|EC|.
设E(x,y),有P(x,5y),于是x2+(5y)2=25,整理得点E的轨迹方程为+y2=1,该椭圆长半轴长a=5,短半轴长b=1,所求离心率e=.
(方法二)如图,以点O为坐标原点,直线OD为x轴建立平面直角坐标系,过点A,E分别作x轴的垂线,垂足分别为点F,C,设E(x,y),因为=2,所以|FC|=2|CD|,设|CD|=n,则|OF|=|FD|=3n,
|OC|=5n,即x=5n,点A的横坐标xA=3n=x,
又=3,所以点A的纵坐标yA=3y,即Ax,3y,
由|OA|=3,得+9y2=9,即点E的轨迹方程为+y2=1,所求离心率e=.
17.解(1)设椭圆的焦距为2c,
则解得b2=a2-c2=3,e=,
所求椭圆方程为=1.
(2)设P(x0,y0),x0∈(-2,0)∪(0,2).
由(1)及题意可知A1(-2,0),A2(2,0),F(1,0),
所以直线A2P的方程为y-0=(x-2),
令x=0,则y=,
即Q0,.
所以=||=×1×|y0|=|y0|.
由题意可得=2×|y0|,
所以|x0-2|=4(舍)或|x0-2|=,
所以x0=(舍)或x0=,
所以P,±,
所以直线A2P的方程为x+y-
2=0或x-y-2=0.
18.解(1)由题意可知F,0,∴|PF|==2,又p>0,∴p=2,
∴抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)显然直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y-2=k(x+3),联立方程消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0(k≠0),
∴Δ=16(-3k2-2k+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1+y2=,y1y2=+12,
∴y1y2=2(y1+y2)+12,①
直线AC的方程为y-y1=x-,联立方程
消去x,整理得y2-4y+4y1-=0,∴Δ=16-4(4y1-)>0,设C(x3,y3),则y1+y3=4,②
由①②得(4-y3)y2-12=2(4-y3+y2),即2(y2+y3)=y2y3+20,③
(ⅰ)若直线BC的斜率不存在,则y2+y3=0,
又2(y2+y3)=y2y3+20,
∴=20,
∴x3==5,
∴直线BC的方程为x=5.
(ⅱ)若直线BC的斜率存在,为,∴直线BC的方程为y-y2=x-,
即4x-(y2+y3)y+y2y3=0,
将③代入得4x-(y2+y3)y+2(y2+y3)-20=0,
∴(y2+y3)(2-y)+4(x-5)=0,
∴直线BC斜率存在时过点(5,2),由(ⅰ)(ⅱ)可知,直线BC过定点(5,2).
19.解(1)由题意c==1,F(1,0),A(,0),B(0,-1),直线BF的方程为x-y=1,
由所以C,
所以四边形ABOC的面积S=×1+=.
(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),由+2得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),即x=x1+2x2,y=y1+2y2.点M,N在椭圆E上,所以=1,=1,
所以x2+2y2=(+4x1x2+4)+2(+4y1y2+4)=10+4(x1x2+2y1y2).
直线OM,ON的斜率之积为kOMkON==-,即x1x2=-2y1y2,所以x2+2y2=10,所以点P在椭圆=1上,当点G,H分别为该椭圆的左、右焦点时,|PG|+|PH|为定值2,又,因此这两个定点坐标为(-,0),(,0).
20.解(1)因为B点在椭圆上,由椭圆的对称性,点B关于x轴的对称点B'也在椭圆上,再由点B'到Γ的两焦点的距离之和为4可得2a=4,即a=2,又椭圆的离心率e=,所以c=,可得b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)为定值.设B(x1,y1),C(x2,y2),则B'(x1,-y1),由得(4+m2)y2+2my-3=0,Δ>0显然成立,则y1+y2=-,y1y2=,又直线B'C的方程为,令y=0,可得x=y1+x1=+my1+1=+1=+1=+1=4,所以当m变化时直线B'C与x轴交于定点M(4,0),所以=1,即为定值,且定值为1.
21.解(1)将点(0,)代入椭圆方程,得b=,由e=,解得a2=4,∴椭圆C的方程为=1.
(2)①设M(4,yM),N(4,yN),由于F2(1,0),因此=(-3,-yM),=(-3,-yN),
∵=0,
∴yMyN+9=0,MF2⊥NF2,
∴
=
=
≥
=
=9,
当且仅当|yM|=|yN|,即-+9=0,即yM=3,yN=-3时,等号成立,△MNF2面积的最小值为9.
②证明:∵A1(-2,0),
∴直线A1M的方程为y=(x+2).
由得(27+)x2+4x+4-108=0.
设P(x1,y1),
∴x1+(-2)=-,
∴x1=,代入直线A1M的方程得y1=,
∴P.
∵A2(2,0),
∴直线PA2的斜率为=-,直线NA2的斜率为.
∵yMyN+9=0,
∴=-,
故P,A2,N三点共线.
22.解(1)由题得22=2p,可得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,则准线方程为x=-1.
(2)不妨设y0>0,又x0>4,则=4x0>16,故y0>4,圆Γ的圆心为D(2,0),半径r=2.
设B(0,yB),C(0,yC).令B,C分别在x轴上方和下方,则yB>0>yC,设∠BCP=2α,则直线PC的倾斜角为-2α,且tan-2α=,又tanα=,
则tan2α=,
整理得,
则(-16)+16y0yC-4=0,即[(y0-4)yC+2y0][(y0+4)yC-2y0]=0,而yC4,得yC=.
设∠BDO=β,则直线PB的倾斜角为-2β,且tan-2β=,又tanβ=,
则tan2β=,
整理得,
则(-16)+16y0yB-4=0,即[(y0-4)yB+2y0][(y0+4)yB-2y0]=0,而yB>0,y0>4,得yB=,
又过点P与圆Γ的切线长为d==x0=,
综上,△PBC周长为l=2(yB+|yC|+d)=2(yB-yC+d)=2=16+2≥16+4=32,当且仅当,即y0=4时等号成立,
所以△PBC的面积S△PBC=rl≥32,故P(8,4)时△PBC面积的最小值为32,根据对称性P(8,-4)也可取到最小面积.
综上,△PBC面积的最小值为32.