备战2025年高考数学二轮复习课件专题6解析几何专题检测六

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1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(　　)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1
解析 因为圆心在y轴上,所以可设所求圆的圆心坐标为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A.
4.(2024陕西渭南模拟)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后,集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线C的方程为y2=8x,一束平行于x轴的光线从点M(8,4)射出,经过C上的点A反射后,再从C上的另一点B射出,则|MB|=(　　)
A.6B.8C.10D.12
解析 由抛物线C的方程为y2=8x,可得其焦点为(2,0),由于M(8,4),故点A纵坐标为4,代入y2=8x中,即42=8x,所以x=2,即A(2,4),由题意知反射光线AB经过点(2,0),则直线AB的方程为x=2,与抛物线方程y2=8x联立,得y2=16,y=±4,
7.已知抛物线Γ:x2=8y的焦点为F,直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P,并且与直线y=-2和x轴分别相交于A,B两点,直线PF与抛物线Γ的另一个交点为Q.过点B作BC∥AF交PF于点C,若|PC|=|QF|,则|PF|等于(　　)
附加结论:抛物线上两个不同的点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),以A,B为切点的切线PA,PB相交于点P,我们称弦AB为阿基米德△PAB的底边.定理:点P的坐标为 推论:若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(0,m)(m>0),则另一顶点P的轨迹方程为y=-m.
解析 因为直线PQ过抛物线的焦点F(0,2),由推论可知以PQ为底边的阿基米德三角形的另一个顶点P的轨迹方程为y=-2,又因为切线PA与直线y=-2相交于点A,故△APQ为抛物线的阿基米德三角形,AQ也与抛物线相切.如图,设点P,Q在直线y=-2(抛物线的准线)上的射影分别为P',Q',连接PP',QQ',PP'与x轴相交于点D.
8.(2024湖南师大附中模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,其内切圆与AC边相切于点D,且AD=1.延长BA至点E,使得BC=BE,连接CE.设以C,E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1,以C,E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2,则e1e2的取值范围是(　　)
解析 如图,设内切圆与边BC,BE分别相切于点F,G,由切线长定理和△BCE的对称性,可设CF=CD=EG=x,且AD=AG.由AD=1,可得AC=x+1,AE=EG-AG=x-1.在△ACE中,由余弦定理,CE2=(x+1)2+(x-1)2-2(x+1)(x-1)cs 60°=x2+3.
9.(2024湖北省八市一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现,反比例函数y= 的图象是双曲线,设其焦点为M,N,若P为其图象上任意一点,则(　　)
11.(2024山东临沂一模)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为W上一点(　　)A.存在点P,使△PFC为等边三角形B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12
解析 如图,圆C:x2+y2-10x+13=0的方程可化为C:(x-5)2+y2=12,得其圆心C(5,0),半径r=2 ,由抛物线方程W:y2=4x,得焦点F(1,0).对于选项A,若△PFC为等边三角形,则|PF|=|PC|=|FC|=4,若点P到点F(1,0)的距离为4,由抛物线的定义可知xP+1=4,即xP=3,代入抛物线方程可得
12.(2024山东滨州二模)设F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l:2x-2y-1=0交C于A,B两点,则|FA|+|FB|=　　　　　. 
13.已知A(2,0),B(4,0),C(0,4),若过点A的直线l、直线BC、x轴正半轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,则该圆的一个标准方程为　 . 
(x-3)2+(y-3)2=10或(x-1)2+(y-2)2=5
解析 当过点A的直线与直线BC平行时,围成的四边形是等腰梯形,外接圆就是过A(2,0),B(4,0),C(0,4)的圆.
则|F1N|=|F1P|=|BF1|-|BP|=|BF2|-|BQ|=|F2Q|=|F2A|+|AQ|=|F2A|+|AN|,由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=|F1N|+|AN|-|AF2|=(|AF2|+|AN|)+|AN|-|AF2| =2|AN|=2a,所以|AN|= .
15.(13分)(2024江西九江模拟)已知动圆过定点M(0,4),且在x轴上截得的弦AB的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)过轨迹C上一个定点P(m,n)(m≠0)引它的两条弦PS,PT,若直线PS,PT的斜率存在,且直线ST的斜率为- .证明:直线PS,PT的倾斜角互补.
(1)解 如图,设动圆圆心D的坐标为(x,y),根据勾股定理得(x-0)2+(y-4)2 =42+y2,整理得,x2=8y,故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x2=8y.
16.(15分)(2024浙江丽水模拟)已知双曲线C: -y2=1,点M(2,1),直线l:y=kx+m(m≠0)与双曲线C交于不同的两点A,B.(1)若△MAB的重心在直线x-2y=0上,求k的值;(2)若直线l过双曲线C的右焦点F,且直线MA,MB的斜率之积是- ,求△MAB的面积.
18.(17分)(2024山东潍坊二模)已知双曲线C: (a>0,b>0)的实轴长为2 ,右焦点F2到一条渐近线的距离为1.(1)求C的方程;(2)过C上一点P1(3, )作C的切线l1,l1与C的两条渐近线分别交于R,S两点,P2为点P1关于坐标原点的对称点,过P2作C的切线l2,l2与C的两条渐近线分别交于M,N两点,求四边形RSMN的面积;(3)过C上一点Q向C的两条渐近线作垂线,垂足分别为H1,H2,是否存在点Q,满足|QH1|+|QH2|=2?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)假设存在点Q满足条件.
(1)当点A为椭圆E的上顶点时,将平面xOy沿x轴折叠如图②,使平面A'F1F2⊥平面BF1F2,求异面直线A'C与BF1所成角的余弦值;(2)若过点F2作F2H⊥CD,垂足为H.①证明:直线CD过定点;②求|PH|的最大值.