专题05 平面解析几何-备战2024年高考之5年高考数学真题分项汇编（新高考通用）

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考点一 两条平行直线间的距离
1．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 ．
考点二 圆的一般方程
2．（2021•上海）若，求圆心坐标为 ．
3．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
考点三 直线与圆的位置关系
4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆外，则直线与圆相离
C．若点在直线上，则直线与圆相切
D．若点在圆内，则直线与圆相离
5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
6．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
7．（2022•上海）设集合，，
①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；
②存在直线，使得集合中存在无数点在上；
A．①成立②成立B．①成立②不成立
C．①不成立②成立D．①不成立②不成立
8．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
考点四 圆的切线方程
9．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1B．C．D．
10．（2019•浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则 ， ．
11．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
12．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则 ， ．
考点五 椭圆的性质
13．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
14．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
A．13B．12C．9D．6
15．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则
A．B．C．D．
16．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
17．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 ．
18．（2021•浙江）已知椭圆，焦点，，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．
19．（2019•浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
20．（2019•上海）已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
考点六 直线与椭圆的综合
21．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
22．（2020•海南）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
（1）求的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
23．（2020•山东）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
考点七 双曲线的性质
24．（2022•上海）双曲线的实轴长为 ．
25．（2019•浙江）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A．B．1C．D．2
26．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ．
27．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
28．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
考点八 直线与双曲线的综合
29．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
30．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
31．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
32．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
33．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
考点九．抛物线的性质
（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则

A．1B．2C．D．4
35．【多选】（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则
A．直线的斜率为B．
C．D．
36．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 ．
37．（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
38．（2020•山东）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ．
39．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则 ．
考点十 直线与抛物线的综合
40．【多选】（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
41．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则
A．的准线为B．直线与相切
C．D．
42．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
43．（2020•浙江）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，不同于．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
44．（2019•浙江）如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．
（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．
考点十一 圆锥曲线的综合
45．（2020•浙江）已知点，，．设点满足，且为函数图象上的点，则
A．B．C．D．
46．【多选】（2020•海南）已知曲线．
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
47．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．
（1），中点在轴上，求点的坐标；
（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．
48．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
49．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．
50．（2021•浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．
考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
51．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
52．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
53．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．