2023-2024学年江苏省南通市海门区东洲国际学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区东洲国际学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列计算正确的是( )
A. 2 5− 5=1B. 3+ 2= 5C. 8÷ 2=4D. 5× 2= 10
2.点A1,m在函数y=2x的图象上，则点A的坐标是( )
A. 1,0B. 1,2C. 1,1D. 2,1
3.下列各图能表示y是x的函数是( )
A. B.
C. D.
4.函数y= x−4中自变量x的取值范围是( )
A. x>4B. x≥4C. x≤4D. x≠4
5.已知点P1,2关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，则k=( )
A. 1B. 5C. −1D. −5
6.如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A. AB=CD，BC=ADB. ∠A=∠C，∠B=∠D
C. AB/​/CD，BC=ADD. AB/​/CD，AB=CD
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集在数轴上表示正确的是
( )
A. B.
C. D.
8.如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A. 54cm2B. 58cm2C. 516cm2D. 532cm2
9.如图，∠AOB=25°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α的值为( )
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
10.如图，在正方形ABCD中，边长为4的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．则正方形ABCD的面积为( )
A. 6+4 3B. 8+4 3C. 6+4 5D. 8+4 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.计算：7−−8= ．
12.边长为6的等边三角形的面积是 ．
13.x=0y=3和x=1y=5都是方程y=kx+b的解，则k= ．
14.为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法：(1)众数是4；(2)平均数是5；(3)调查了10户家庭的月用水量；(4)中位数是4.5，正确的有 (填序号)．
15.如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15∘，则∠COF= ．
16.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为 ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为”希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为 ．
18.已知x−1x=3，那么多项式x3−x2−7x+5的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
如图，直线l上有一点P1(2,1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．
(1)写出点P2的坐标；
(2)求直线l所表示的一次函数的表达式；
(3)若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
20.(本小题8.0分)
计算：
(1)解方程组：2(x+1)−y=6x=y−1；
(2) 25−38−π−30．
21.(本小题8.0分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：四边形ABED是平行四边形．
22.(本小题8.0分)
一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分以上(包括9分)为优秀，这次测验中甲、乙两组各12名学生成绩分布的条形统计图如图所示．
(1)请补全下面的统计表：
(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组学生观点的理由．
23.(本小题8.0分)
列方程(组)解应用题：
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？
24.(本小题8.0分)
如图，已知▵ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC=6 2，点D为边BC上一动点，四边形ADEG是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(1)判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2)求证：DF2=BD2+CF2；
(3)若BD=4，求AE的值．
25.(本小题8.0分)
探究：
(1)如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连结BD、CE.请写出图1中所有全等的三角形： (不添加字母)．
(2)如图2，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，l是过A点的直线，CN⊥l，BM⊥l，垂足为N、M.求证：△ABM≌△CAN．
解决问题：
(3)如图3，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D在边BC上，DA=DE，∠ADE =90°．
求证：AC⊥CE．
26.(本小题8.0分)
已知：如图1，在▵AOB中，OA=AB= 5，BO=2，点B在x轴上，直线l1：y=kx+3(k为常数，且k≠0)过点A，且与x轴、y轴分别交于点D,C，直线l2：y=ax(a为常数，且a>0)与直线l1交于点P，且▵DOP的面积为152．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线l1,l2的解析式；
(3)如图2，直线l3在y轴左侧，且l3//y轴，与直线l1,x轴分别交于点M,Q，且直线l3与线段OA交于点N，若点Q的横坐标为n(−1kx−1的解集为x>−1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
【详解】解：根据函数图象可知，当x>−1时，x+b>kx−1，
即不等式x+b>kx−1的解集为x>−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
8.【答案】B
【解析】【详解】设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的12．
∴平行四边形AOC1B的面积=12S.
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的12．
∴平行四边形AO1C2B的面积=12×12S=122S．
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积=125S=125×20=58cm2．
故选B．
9.【答案】A
【解析】【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∴∠QPN=12(180°−α)=∠AOB+∠MQP=25°+12(180°−β)，
∴180°−α=50°+(180°−β)，
∴β−α=50°，
故选A．
【点睛】本题考查轴对称——最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】【分析】首先根据四边形ABCD是正方形得出AB=AD，∠B=∠D=90∘，根据▵AEF是等边三角形得出AE=AF，最后根据HL即可证明Rt▵ABE≌Rt▵ADF；根据全等的性质可间接得出CE=CF，∠C=90∘，从而得出▵ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC=2 2，设BE=x，则AB=x+2 2，然后利用勾股定理求出BE= 6− 2，即可得出正方形ABCD的边长，最后求出正方形ABCD的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90∘，
∵▵AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt▵ADF中，
AB=ADAE=AF,
∴Rt▵ABE≌Rt▵ADFHL，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90∘，
即▵ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC=2 2，
在Rt△ABE中，AE=4，
设BE=x，则AB=x+2 2，
∴AB2+BE2=AE2，即x+2 22+x2=42，
解得x1= 6− 2或x2=− 6− 2(舍去)，
∴AB= 6− 2+2 2= 6+ 2，
∴S正方形ABCD=AB2= 2+ 62=8+4 3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质．解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．
11.【答案】−1
【解析】【分析】先化简绝对值，再计算减法即可．
【详解】解：7−−8=7−8=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查有理数的加法以及化简绝对值，题目较为基础．
12.【答案】9 3
【解析】【分析】作出相应图形▵ABC中，作AD⊥BC，由三线合一性质解得DC=3，继而根据勾股定解得AD的长，最后根据三角形面积公式解题．
【详解】如图，在▵ABC中，作AD⊥BC，
∵AB=BC=AC=6,AD⊥BC
∴DC=3
∴AD= AC2−DC2= 62−32=3 3
∴S▵ABC=12⋅BC⋅AD=12×6×3 3=9 3
故答案为：9 3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三线合一性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13.【答案】2
【解析】【分析】把方程的两组解分别代入方程，可得关于k，b的方程组，再求解即可．
【详解】解：把x=0y=3和x=1y=5分别代入方程y=kx+b中，
可得b=3k+b=5，解得k=2b=3,
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k，b为未知数的方程组．
14.【答案】(2)(3)(4)
【解析】【分析】根据众数和中位数的定义判断(1)和(4)，根据加权平均数的计算判断(2)，将所有户数加起来可判断(3)．
【详解】解：(1)5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，原说法错误；
(2)这组数据的平均数是：3×2+4×3+5×4+8×1÷10=4.6，说法正确；
(3)调查的户数是2+3+4+1=10，说法正确；
(4)把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是4+5÷2=4.5，则中位数是4.5，说法正确；
故答案为：(2)(3)(4)．
【点睛】本题考查众数；统计表；加权平均数；中位数，掌握各定义及计算方法是解题的关键．
15.【答案】75∘
【解析】【分析】根据DF平分∠ADC与∠BDF=15∘可以计算出∠CDO=60∘，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到▵OCD是等边三角形，再证明▵COF是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45∘，
∴▵CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF，
∵∠BDF=15∘，
∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45∘+15∘=60∘，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD,∠OCD=60∘，
∴OC=CF,∠OCF=90∘−∠OCD=90∘−60∘=30∘ ，
在▵COF中，∠COF=12(180∘−30∘)=75∘．
故答案为：75∘．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出▵OCD是等边三角形是解决本题的关键．
16.【答案】10
【解析】【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，确定最小值为BM的长度，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，

∴BN=ND，
∴DN+MN=BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
DN+MN=BP+MP=BM，DN+MN的最小值为BM的长度．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=8，CM=8−2=6，
∠BCM=90∘，BM= BC2+CM2= 82+62=10，
即DN+MN的最小值为10．
故答案为：10
【点睛】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
17.【答案】4
【解析】【分析】根据勾股定理求得AB的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积则为：两个较小半圆的面积和减去以AB为直径的半圆的面积，之后再加上三角形ABC的面积，
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴AB= 42+22=2 5
以AC为直径半圆的面积：π(42)22=2π；
以BC为直径半圆的面积：π(22)22=π2；
以AB为直径半圆的面积：π(2 52)22=5π2；
Rt△ABC的面积为：4×22=4，
∴阴影部分的面积为：2π+π2−5π2+4=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出AB的值是解题的关键．
18.【答案】7
【解析】【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据x−1x=3可得出x2−3x=1.再将x3−x2−7x+5变形为xx2−3x+2x2−7x+5，整体代入即可得出2x2−3x+5，再次整体代入求值即可，利用整体代入的思想是解题关键．
【详解】解：∵x−1x=3，
∴x2−3x=1．
∴x3−x2−7x+5
=x3−3x2+2x2−7x+5
=xx2−3x+2x2−7x+5
=x+2x2−7x+5
=2x2−3x+5
=2+5
=7．
故答案为：7．
19.【答案】(1)设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵点P1(2,1)，P2(3,3)在直线l上，
∴2k+b=13k+b=3， 解得k=2b=−2．
∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x−3．
(2)点P3在直线l上．
由题意知点P3的坐标为(6,9)，
∵2×6−3=9，
∴点P3在直线l上．

【解析】【详解】分析：(1)设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，把点P1、P2的坐标代入，利用待定系数法求得系数的值；(2)根据平移的规律得到点P3的坐标为(6,9)，代入直线方程进行验证即可．
20.【答案】(1)解：2(x+1)−y=6①x=y−1②
将②代入①中，可得2y−1+1−y=6
解得：y=6，
将y=6代入②中，可得x=5，
∴方程组的解为x=5y=6；
(2)解： 25−38−π−30
=5−2−1
=2．

【解析】【分析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)原式算术平方根、立方根定义以及零指数幂计算即可求出值．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS)；
∴∠B=∠DEF，
∴AB//DE，
又∵AB=DE，
∴四边形ABED是平行四边形．

【解析】【分析】证出BC=EF，由SSS即可得出△ABC≌△DEF；再由全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，证出AB//DE，由AB=DE，即可得出结论．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】(1)解：甲组数据从小到大排列，第6个数和第7个数均为7，
乙组数据的平均数为2×5+1×6+5×7+3×8+1×912=7，
故答案为：7；7；
(2)解：由(1)可得乙组的平均数大于甲组的平均数，所以乙组的成绩要好于甲组，
根据图表可得乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组的成绩比较稳定，要好于甲组．

【解析】【分析】(1)根据中位数和平均数的概念，结合条形统计图，即可解答；
(2)从平均数，方差，中位数等方面，说出支持乙组学生的观点，即可解答．
【点睛】本题考查了条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23.【答案】设有x人，该物品价值y元，
根据题意得：8x−y=3y−7x=4
解得：x=7y=53．
答：有7人，该物品价值53元．

【解析】【分析】设有x人，该物品价值y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
24.【答案】(1)解：BD=CG
证明：∵四边形ADEG是正方形，∴AD=AG,∠DAG=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BMC=∠DAG，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG，
∴∠BAD=∠CAG，
在▵ABD和▵ACG中，AB=AC∠BAD=∠CAGAD=AG
∴▵ABD≌▵ACGSAS．
∴BD=CG
(2)证明：如图，连接GF，∵四边形ADEG是正方形，
∴AG=AD,∠FAG=∠FAD=45∘，
在▵GAF和▵DAF中，AF=AF∠FAG=∠FADAG=AD
∴▵GAF≌▵DAFSAS，
∴GF=DF,∠ACG=∠B=45∘
∵∠BAC=90∘,AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=90∘
∴在中，GC2+CF2=FG2，
∴DF2=BD2+CF2
(3)连接DG，
∵AB=AC=6 2，
∴在Rt▵ABC中，
BC= AB2+AC2= (6 2)2+(6 2)2=12，
∵BD=4，∴DC=BC−BD=12−4=8，
由(1)知GC=BD=4，
由(2)知∠DCG=90∘，在Rt▵DCG中，DG= DC2+CG2= 82+42=4 5，
∵四边形ADEG是正方形，
∴AE=DG=4 5，

【解析】【分析】(1)证明▵ABD≌▵ACGSAS即可求解；
(2)连接DG，证明▵GAF≌▵DAFSAS，结合(1)的结论即可求解；
(3)连接DG，勾股定理求得BC的长，继而求得DC的长，由(1)知GC=BD=4，由(2)知∠DCG=90∘，在Rt▵DCG中，勾股定理可得DG的长，由四边形ADEG是正方形，即可求解．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵∠DAB+∠BAE=∠DAE=90°，∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
故答案为△ABD≌△ACE；
(2)∵∠CAN+∠ACN=90°，∠CAN+∠BAM=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
在△ABM和△CAN中，
∠ANC=∠AMB∠ACN=∠BAMAC=AB,
∴△ABM≌△CAN(AAS)；
(3)如图：作AH⊥BC于H，EG⊥BC于G，则∠AHD=∠DGE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，∠ACB=45°，
∵∠ADH+∠DAH=∠ADH+∠EDG=90°，
∴∠DAH=∠EDG，
∵AD=DE，
∴△ADH≌△DEG，
∴DG=AH=CH，DH=EG，
∵DH+HG=HG+GC，
∴DH=CG=EG，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴∠ECG=45°，
∴∠ACE=∠ACB+∠ECG=45°+45°=90°，
∴AC⊥CE．

【解析】【分析】(1)由∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，得到∠DAB=∠EAC，然后结合AB=AC，AD=AE，即可证明△ABD≌△ACE；
(2)由同角的余角相等，得到∠BAM=∠CAN，结合条件AB=AC，∠AMB=∠ANC=90°，即可证明△ABM≌△CAN；
(3)作AH⊥BC于H，EG⊥BC于G，由△ABC是等腰直角三角形，则AH=BH=CH，由∠DAH=∠EDG，得到△ADH≌△DEG，则DG=AH=CH，DH=EG，则DH+HG=HG+GC，得到EG=CG，则得到∠ECG=45°，则∠ACE=90°，即可得到结论成立．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及同角的余角相等，本题中求证△ABD≌△ACE，△ABM≌△CAN，△ADH≌△DEG是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，作AM⊥OB于M．

∵AB=AO= 5，OB=2，AM⊥OB，
∴BM=OM=1，
在Rt△AOM中，AM= OA2−OM2=2，
故A−1,2．
(2)解：由(1)可得A−1,2，
把A−1,2代入y=kx+3得到，2=−k+3，解得k=1，
∴直线l1的解析式为y=x+3，
∴D−3,0，设点P的坐标为m,n，
由题意12×3×n=152，
解得n=5，
∴m+3=5，
解得m=2，
∴P2,5，把P2,5代入y=ax，得到5=2a.解得a=52，
∴直线l2的解析式为y=52x．
(3)如图2，连接PN．

∵A−1,2，
∴直线OA的解析式为y=−2x，
∵Mn,n+3，且−1