2023-2024学年安徽省芜湖市弋江区部分学校联合八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市弋江区部分学校联合八年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）近几年，中国在新能源汽车领域取得了令人瞩目的成就，很多产品远销欧美市场，以下新能源汽车车标图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80°B．40°C．62°D．38°
3．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1B．2C．3D．4
4．（4分）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
5．（4分）如图AB＝CD，AD＝BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
6．（4分）下列结论错误的是（ ）
A．直角三角形的外角不可能为锐角
B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部
C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等
D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
7．（4分）如图所示，点E、F在BC上，AB＝CD，AF＝DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE．（ ）
A．∠B＝∠CB．AG＝DGC．∠AFE＝∠DEFD．BE＝CF
8．（4分）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣9B．﹣1C．0D．1
9．（4分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
10．（4分）如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（ ）个不同的格点三角形与△ABC全等．
A．8B．9C．10D．1 1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知：等腰三角形的两边长分别为6cm，3cm，则此等腰三角形的周长是 cm．
12．（5分）如图，B、C、E共线，AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥DC，AC＝DC，又AB＝2cm，DE＝1cm，则BE＝ ．
13．（5分）如图所示，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为 度．
14．（5分）如图，已知△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，E为AC边上的点，连接DE，DE＝DB．解决以下问题：
（1）∠DEA+∠B＝ ；
（2）若S△ADC＝6，则S四边形ABDE＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．
16．（8分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
18．（8分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．请写出线段AF与线段DE之间的关系，并说明理由．
20．（10分）如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH＝HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 厘米；
②BP＝ 厘米；
③CP＝ 厘米；
④CQ＝ 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知△ABC，AD是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ．
∴＝ ，
又∵，
∴ ．
【类比探究】如图2，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．
求证：
【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是 ．
2023-2024学年安徽省芜湖市弋江区部分学校联合八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）近几年，中国在新能源汽车领域取得了令人瞩目的成就，很多产品远销欧美市场，以下新能源汽车车标图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图案是轴对称图形，不符合题意；
B、图案是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（4分）如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．80°B．40°C．62°D．38°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，根据三角形的内角和定理求出∠E的度数即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣80°﹣62°＝38°，
故选：D．
【点评】本题考查了对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，至少需要2根木条．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
4．（4分）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据SSS证明三角形全等可得结论．
【解答】解：由作图可知，OA＝OC，AB＝CB，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠BOA＝∠BOC，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
5．（4分）如图AB＝CD，AD＝BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【分析】由条件可判定四边形ABCD为平行四边形，则可知O为AC、BD、EF的中点，可知△ABO≌△CDO，△ABC≌△CDA，△AEO≌△CFO，△EOD≌△FOB，△AOD≌△BOC，△ABD≌△CDB，共6组．
【解答】解：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理可得△ABC≌△CDA，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△BOD（SAS），
同理可得△BOC≌△DOA，
由平行四边形的性质可得AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
同理可得△DOE≌△BOF，
所以共有六组．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，由条件得到四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
6．（4分）下列结论错误的是（ ）
A．直角三角形的外角不可能为锐角
B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部
C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等
D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等
【分析】根据平角的定义、根据三角形的中线、全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：A．直角三角形的外角不可能为锐角，故A不符合题意；
B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部，故B不符合题意；
C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等．故C符合题意；
D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的判定，三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．（4分）如图所示，点E、F在BC上，AB＝CD，AF＝DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE．（ ）
A．∠B＝∠CB．AG＝DGC．∠AFE＝∠DEFD．BE＝CF
【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝CD，AF＝DE，
添加∠B＝∠C，不能判定△ABF≌△DCE，
故A选项不符合题意；
添加AG＝DG，不能判定△ABF≌△DCE，
故B选项不符合题意；
添加∠AFE＝∠DEF，不能判定△ABF≌△DCE，
故C选项不符合题意；
添加BE＝CF，
∴BF＝CE，
根据SSS可证△ABF≌△DCE，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．（4分）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣9B．﹣1C．0D．1
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答．
【解答】解：∵E（2m，﹣n）和F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称，
∵，解得：，
∴m﹣n＝﹣4﹣（﹣5）＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．
9．（4分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
10．（4分）如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（ ）个不同的格点三角形与△ABC全等．
A．8B．9C．10D．1 1
【分析】利用全等三角形SSS去找点C为顶点的三角形与△ABC全等．
【解答】解：如图，共有9种情况：
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．利用网格结构是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知：等腰三角形的两边长分别为6cm，3cm，则此等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（5分）如图，B、C、E共线，AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥DC，AC＝DC，又AB＝2cm，DE＝1cm，则BE＝ 3cm ．
【分析】易证△ABC≌△CED，可得AB＝CE，BC＝DE，可以求得BE的值．
【解答】解：∵AC⊥DC，∴∠ACB+∠ECD＝90°
∵AB⊥BE，∴∠ACB+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝2cm，BC＝DE＝1cm，
∴BE＝BC+CE＝3cm．
故答案为3cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△CED是解题的关键．
13．（5分）如图所示，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为 72 度．
【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解．
【解答】
解：∵四边形、五边形、六边形的各内角相等，
∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°，
∴∠2+∠BAC＝90°，∠1+∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，
∵∠3＝60°，
∴∠BCA＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣30°＝150°，
∵∠2+∠BAC+∠1+∠ABC＝90°+132°＝222°，
∴∠1+∠2＝222°﹣150°＝72°，
故答案为72．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数．
14．（5分）如图，已知△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，E为AC边上的点，连接DE，DE＝DB．解决以下问题：
（1）∠DEA+∠B＝ 180° ；
（2）若S△ADC＝6，则S四边形ABDE＝ 12 ．
【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，证明Rt△CDE≌Rt△FDB，即可得到∠B＝∠CED，再根据∠DEA+∠DEC＝180°，即可得出∠DEA+∠B＝180°；
（2）证明Rt△CDA≌Rt△FDA，根据Rt△CDE≌Rt△FDB，得到S△CDE＝S△FDB，进而得出S四边形ABDE＝S四边形ACDF，根据△ACD≌△AFD，可得S△ACD＝S△ADF，进而得出2S△ADC＝S四边形ABDE．
【解答】解：（1）如图，过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，
又∵DE＝DB，
∴Rt△CDE≌Rt△FDB（HL），
∴∠B＝∠CED，
又∵∠DEA+∠DEC＝180°，
∴∠DEA+∠B＝180°；
故答案为：180°；
（2）∵AD＝AD，DC＝DF，
∴Rt△CDA≌Rt△FDA（HL），
∵Rt△CDE≌Rt△FDB，
∴S△CDE＝S△FDB，
∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，
又∵△ACD≌△AFD，
∴S△ACD＝S△ADF，
∴2S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，
∴S四边形ABDE＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线构造全等三角形是解此题的关键，解题时注意：全等三角形的面积相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 8 cm．
【分析】（1）连接PC作线段PC的垂直平分线交AC于点E，连接PE，点E即为所求；
（2）证明△APE的周长＝AP+AC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求；
∵EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+PE+AE＝AP+CE+AE＝AP+AC＝3+5＝8（cm），
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（8分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．
【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
【分析】设每个内角为x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出边数与内角和即可．
【解答】解：设每个内角为x，
根据题意得x+x＝180°，
解得x＝160°，
则有（n﹣2）×180°＝160°n，
解得n＝18，
160°×18＝2880°．
则多边形的边数为18，内角和为2880°．
【点评】此题考查了多项式内角与外角，熟练掌握内角和公式是解本题的关键．
18．（8分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；
（2）直接利用（1）中所画图形得出各点坐标即可；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）；
（3）△ABC的面积为：7×4﹣×2×3﹣×4×5﹣×1×7＝11.5．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．请写出线段AF与线段DE之间的关系，并说明理由．
【分析】先由平行线的性质得∠B＝∠C，再证CF＝BE，然后证明△ABF≌△DCE（SAS），得DF＝AE，∠DFC＝∠AEB，则∠DEF＝∠AFE，即可得出AF∥DE．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即 BF＝CE，
在△ABF 和△DCE 中．
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴AF＝DE．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（10分）如图，AB与CD交于点F，BE与AC交于点G，AB＝AC，AF＝AG，∠D＝∠E．求证：AD＝AE．
【分析】由“SAS”可证△AFC≌△AGB，可得∠AFC＝∠AGB，由“AAS”可证△ADF≌△AEG，可得AD＝AE．
【解答】证明：在△AFC和△AGB中，
，
∴△AFC≌△AGB（SAS），
∴∠AFC＝∠AGB，
∴∠AFD＝∠AGE，
在△ADF和△AEG中，
，
∴△ADF≌△AEG（AAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH＝HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
【分析】（1）证明△BAC≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出BC＝EF；
（2）延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF＝90°，则可得出结论．
【解答】解：（1）BC＝EF．
理由：∵EH＝DH＝2.5米，
∴ED＝5米，
∴AB＝DE，
由题意可知四边形CADH为矩形，
∴CA＝DH＝2.5米，
∵DF＝2.5米，
∴CA＝DF，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）BC⊥EF．
理由：延长BC交EF于点M，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F+∠EDF＝90°，
∵△BAC≌△EDF，
∴∠B＝∠DEF，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，
∴EF⊥BM．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 12 厘米；
②BP＝ 4t 厘米；
③CP＝ （16﹣4t） 厘米；
④CQ＝ at 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；
（2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
【解答】解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则，
∴，
∴，
②若△DBP≌△PCQ，
则，
∴，
∴．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知△ABC，AD是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝EF ．
∴＝ ，
又∵，
∴ ．
【类比探究】如图2，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．
求证：
【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是 ．
【分析】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；
类比探究：过点D作DN⊥BA于N，过点D作DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
拓展应用：在BC上取点G，使得BG＝BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性质及前面的结论求解即可．
【解答】探究发现：解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝EF
∴，
又∵，
∴，
故答案为：DE＝EF，；；
类比探究：证明：过点D作DN⊥BA于N，过点D作DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．
∵AD平分∠MAN，
∴DN＝DM．
∴，，
∴，
拓展应用：在BC上取点G，使得BG＝BE，连接DG，
∵BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，
∴∠DBE＝∠DBG，
∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDG（ASA），
∴∠BDE＝∠BDG＝60°，
∴∠BDG＝∠CDG＝60°
∴DG是∠BDC的角平分线，
由（1）知，，
设BE＝3x，BC＝5x，BG＝3x，CG＝2x，
由（1）知，，．
【点评】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键．
课题
探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具
长度为6米的米尺
测量步骤
①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据
DF＝2.5米，AB＝5米
课题
探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具
长度为6米的米尺
测量步骤
①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据
DF＝2.5米，AB＝5米