初中18.2.1 矩形一课一练

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一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCDB．∠ABC＝∠ADCC．AO＝BOD．AO＝DO
4．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它斜边上的中线长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2B．C．D．8
6．如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（ ）
A．5cmB．2cmC．3cmD．4cm
7．如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，，请你添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，你添加的条件是______________（填一个即可）.
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___．
11．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______．
12．在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，且．若，则BC长为_________．
13．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．
14．在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E．若BC＝4，AE＝3，则BD的长为 _____．
15．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若，，，则线段AC的长为______．
16．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上OA=5；OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．则D坐标为_______．
三、解答题
17．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
19．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．
（2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
21．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：．
（2）四边形是矩形．
22．（1）问题：如图1，P是矩形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为 ．
（2）探究：如图2，P是矩形ABCD外任意一点，上面的结论是否成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求AB的最小值．
参考答案
1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．B8．C
9．
10．4
11．8
12．
13．
14．或
15．
16．
17．解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，
∴∠DCE=∠DFA
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
18．证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
19．解：（1）∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB．
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AF平分∠MAC，
∴∠MAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
20．【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵点E在DC的延长线上，
∴AB∥CE，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，∠DBC=30°，OA=OB，
∴∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO=6，
∴BD=2BO=2×6=12，
又∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=6，
∴DE=CD+CE=12，
在Rt△ABC中，BC=，
∴四边形ABED的面积=（6+12）×6=54．
21．（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴．
，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴四边形是矩形．
22．【解析】
（1）如图，
过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N

由勾股定理得，
，，，
又 四边形ABCD为矩形
四边形AMNB、四边形DMNC为矩形

，
；
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
如图，
过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N

由勾股定理得，
，，，
又 四边形ABCD为矩形
四边形AMNB、四边形DMNC为矩形

，
，仍然成立；
（3）如图，
以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE

由题意得，
，，

解得
当C、D、E三点共线时，DE最小，即AB最小
的最小值 的最小值．