高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列复习练习题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知等比数列满足，则q＝（ ）
A．1B．－1C．3D．－3
2．设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．1B．2C．3D．
3．数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16B．15C．14D．13
4．已知等比数列的公比为q，首项为a，前n项和为，（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是
A．B．
C．D．
6．已知数列满足，且，若，则正整数k为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题
7．已知是数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列是等比数列B．恒成立
C．恒成立D．恒成立
8．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多0.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
三、填空题
9．等比数列的前项的和为，若，则＝_____.
10．数列满足前项和为，且，则的通项公式____；
11．已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是____________________．（只需写出一个）
12．若数列满足，且，则________.
四、解答题
13．已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设的前项和为，，.求证：.
14．已知正项等比数列的前项和为，，且________，从下列二个条件：
①； ②，，成等差数列；
中选择一个条件（填上序号），解决下列问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
15．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
16．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
参考答案：
1．C
【分析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.
【详解】因为，故可得；
解得.
故选：C.
2．D
【分析】由已知条件结合等比数列的求和公式和通项公式即可求解.
【详解】解：由，两式相减
得，
所以，
解得或（舍去）．
故选：D.
3．A
【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可.
【详解】因为当时，，，
所以，
当时，，
所以当时，是以，的等比数列，故，
所以，
故，即，
因为，，所以，即，
所以的最小值为.
故选：A.
4．B
【解析】就、、及分类讨论后可得的符号情况，从而可得正确的选项.
【详解】因为为等比数列，故，
若，则，故，故C错误，A正确，B正确，
若，则，故，
若，则，故，
若，则，故，
若，则，其中，
取，
则当为偶数，则即；
当为奇数，则即，
故AD错误.
故选：B.
5．D
【详解】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续项之和仍为等比数列．即成等比数列，则由等比中项的性质有整理得D选项．
6．C
【分析】根据递推公式可利用累加法求出与的关系，再由已知可求出的通项公式，
直接代入通项公式即可求出k的值
【详解】由已知可得，，，，左边相加等于右边相加，
整理可得，
又，代入，解得，进而求出，将
直接代入得，则，
故选：C
7．BC
【分析】根据条件写出，两式作比可得，为隔项等比数列，由，代入计算可得，代入可求出通项公式，进而求出前项和公式，从而判断选项的正误.
【详解】，故，
又，故，
故，，所以A错误，B正确；
，，所以C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：数列中出现两项的和或积时，经常令代替再写一项，两式做差或做商，从而找出隔项的关系，进而求出通项公式.
8．BD
【分析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求出，然后求出相应的项，判断各选项．
【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列．
所以，解得．
选项A：，故A错误，
选项B：由，则，又，故B正确．
选项C：，而，，故C错误．
选项D：，
则后3天走的路程为，而且，D正确．
故选：BD．
9．
【分析】求得等比数列的公比，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，
所以，，
由等比数列的求和公式可得，
整理可得
∴
∴＝＝＝
故答案为：
10．
【分析】根据递推关系式可得，两式相减得：，即，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.
【详解】因为
所以
两式相减得：
即
所以从第二项起是等比数列，
又，所以
故 ，又
所以.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.
11．-3（答案不唯一，即可）
【分析】根据已知可推出恒成立，进而得到，.
【详解】由可得，恒成立，
因为，显然有，
又，所以，.
故答案为：-3.
12．
【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.
【详解】因为，
所以，
数列是等比数列，首项为，公比为，
则通项，
可得：，
则.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
13．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项；
（2）运用数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．
【详解】（1）①，②，③，
②①可得，
因为，所以，
设的公差为，则，即，
代入③可得，解得，所以；
由①②可得，，等比数列的公比为，所以.
（2），，
当为奇数时，，
．
由，有，即．
14．选①和②得结果相同，（1）；（2）
【分析】（1）选①②直接根据数列的递推关系式求出公比，从而可求得数列的通项公式；
（2）直接利用（1）的结论，进一步利用分组求和法求出数列的前项和.
【详解】解：（1）选条件①
设数列的公比为，由得，
∴即或；又数列是正项数列，故.
从而数列的通项公式为：.
选条件②
设数列的公比为，由，，成等差数列，∴，
所以，解得，
从而数列的通项公式为：.
（2），
.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．