2023-2024学年江苏省苏州市吴江中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴江中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由交集的概念求解，
【详解】集合，，则，
故选：A
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.
故选：B
3．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.
【详解】因为，，由可得，则，即，
因此，若，，则“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．，或D．，或
【答案】B
【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
【详解】不等式可化为，解得.
故选：B.
5．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】根据得或，求出后验证集合中元素的互异性可得结果.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足互异性；
②若，解得或3，
当时不满足互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
6．已知全集U，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用交集、并集、补集定义直接求解.
【详解】全集，集合，结合韦恩图，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：C．
7．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．与的关系不确定
【答案】B
【分析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案．
【详解】解：∵，
且，
k+2是整数，2k+1是奇数
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题．
8．已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根据恒成立的思想可得，解不等式即可求得结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当，时取等号），
恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
10．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【分析】由三个“二次”的关系可知，相应方程有两个相等的实根，结合韦达定理就可判断.
【详解】由题意．，∴，所以A正确；
对于B：等号当且仅当，即时成立，
所以B正确；
对于C：由韦达定理，知，所以C错误；
对于D：由韦达定理，知，
则，解得，所以D正确；
故选：ABD．
11．若，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，由化简后利用基本不等式判断.
【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；
由，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故B选项正确.
由，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C选项正确；
由，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D选项正确.
故选：BCD.
12．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
三、填空题
13．不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，求出答案.
【详解】等价于，解得或，
故解集为或.
故答案为：或
14．若集合，实数的值为
【答案】
【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．
【详解】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
15．已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】由必要不充分的推出关系列式求解，
【详解】由题意得，，而，故，得，
故答案为：
16．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，
只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.
四、解答题
17．已知集合，或．
(1)若全集，求、；
(2)若全集，求；
【答案】(1)或；或
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果；
（2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，或
且或，则或
（2）根据题意，且，则可得
则
18．（1）已知，．求和的取值范围．
（2）已知，，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，再利用性质求解作答.
（2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果.
【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，；，
因此，即；，即，
所以，.
（2）令，，即，
则有，解得，
而，，于是，，
所以，，即，
所以.
19．设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
【详解】（1）是的充分条件， ，
又，即，解得.
故实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，故.
①当时，，解得；
②当时，，且
，解得；
综上所述：实数的取值范围.
20．设．
(1)若不等式有实数解，求实数a的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分别讨论时，不等式解得情况即可得解；
（2）分类讨论解含参数的二次不等式即可.
【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，
即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，
要有解，当且仅当，从而得，
综上，，所以实数的取值范围是；
（2）不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
21．近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和.
(1)求k的值，并建立F关于x的函数关系式；
(2)当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】(1)； ；
(2)当 （平方米）时，F的最小值是57.5（万元）.
【分析】（1）将代入 即可算出k，F就是C与安装费用之和；
（2）运用基本不等式求最小值即可.
【详解】（1）将代入C表达式得： ，即 ，
F与x的函数关系式为：， ；
（2）由（1）： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时，F取最小值，最小值是57.5.
22．已知二次函数.
(1)若的解集为，求不等式的解集；
(2)若对任意，恒成立，求的最大值；
(3)若对任意，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;
（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；
（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.
【详解】（1）因为的解集（1，2），
所有的根为1和2，且.
所以，，故，，
所以，即，，
所以，即不等式的解集为.
（2）因为对任意，恒成立，所以，即，
又，所以，故，
所以，
当，时取“=”，
所以的最大值为1.
（3）令，则，所以，
对任意，，恒成立，
所以恒成立，
所以，
所以，此时，
，
当，，时取“=”，
此时成立；
故的最大值为.