2022-2023学年江苏省苏州市吴江区高二上学期9月教学质量调研数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市吴江区高二上学期9月教学质量调研数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市吴江区高二上学期9月教学质量调研数学试题 一、单选题1．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两点斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】解：设直线的倾斜角为，则，，故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查两点斜率公式，是基础题.2．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是（    ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】由数列，，，成等差数列，可求出的值，再由，，成等比数列，可求出的值，从而可求得答案【详解】因为数列，，，成等差数列，所以，因为，，成等比数列，所以，所以，故选：D3．到，的距离相等的动点P满足的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.【详解】设，因为点P到，的距离相等，则即，化简整理得：．故选：B【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.4．已知等比数列的前项积满足，则（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比数列通项的性质，由可求得，再由可求值【详解】等比数列的前项积，，，.故选：C5．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)A．(1,3) B．(－1，－3)C．(3,1) D．(－3，－1)【答案】C【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查直线的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线的定点问题,方法一：参数赋值法,给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立.方法二：分离参数法,把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标.6．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202【答案】C【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，所以第100个数为，故选：C7．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元【答案】C【解析】根据年每年的投资额成等差数列、年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.【详解】年每年的投资额成等差数列，首项为，公差为，则年的投资总额为：（万元），年的投资额为：（万元）年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为，则年的投资总额为：（万元）；年的投资总额约为（万元）故选：C.8．设为数列的前n项和，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由，当时，，得；当时，，即.当n为偶数时，，所以（为正奇数），当n为奇数时，，所以（为正偶数），所以，所以，所以，所以.因为.故选：A【点晴】方法点睛：本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：1、公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为；4、分组转化法求和，适用于；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列. 二、多选题9．（多选）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是（       ）A．－4 B．－3 C．3 D．4【答案】AC【分析】求出直线斜率，分类讨论，分斜率为0和不为0讨论．【详解】设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.故选：AC．10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）A．的一个方向向量为 B．在轴上的截距等于C．与直线垂直 D．与直线平行【答案】ACD【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C．【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确；直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，B错误；由于，C正确．故选：ACD．11．设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值为常数的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】设公比为，依题意可得，再根据等比数列通项公式及前项和公式计算可得；【详解】解：因为在等比数列中满足，设公比为，所以，即，解得，所以，，，所以，，故选：ABC12．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．【详解】解：，，，，公比为整数．解得．，．，数列是公比为2的等比数列．．．数列是公差为的等差数列．综上可得：只有ABC正确．故选：ABC． 三、填空题13．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.【答案】-21【分析】设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解；【详解】解：设这三个数为，，，则解得或这三个数为，，或，，.它们的积为故答案为：14．直线绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程______.【答案】【分析】根据题意确定坐标，再根据垂直的斜率关系，结合点斜式求解即可.【详解】由题意，直线过，又斜率为，故绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转后与原直线垂直，斜率为，此时所得的直线方程为，即.故答案为：15．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.【答案】2【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.【详解】因为为等差数列，所以，又，所以.故答案为：2. 四、双空题16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，试确定使得需要______步雹程；若，则所有可能的取值所构成的集合______.【答案】     9     【解析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合.【详解】当时，即，由，可得，，，，，，，，，因此使得需要9步雹程；由题意，为正整数，若，由，解得；当时，由，解得，当时，由解得或；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由解得或；当时，由解得或；当时，由解得；当时，由解得，综上，所有可能的取值为，因此.故答案为：；.【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，结合递推公式，逐步计算，即可得出结果. 五、解答题17．（1）求在轴上的截距分别是的直线方程；（2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.【答案】（1）.；（2）或.【分析】（1）利用直线方程的截距式即得；（2）分截距为0，不为0讨论即求.【详解】（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为，化简得.（2）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线的方程为.又因为过点，所以，解得.所以直线的方程为，即.当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.18．的三个顶点、、，D为BC中点，求：(1)BC边上的高所在直线的方程；(2)中线AD所在直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.【详解】（1）解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.（2）解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.19．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列的前项和为，___________，数列是公比为2的等比数列，且.求数列，的通项公式.【答案】；【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得，进而根据求得的通项公式即可【详解】设等差数列的公差为.若选①：根据等差数列的性质，由有，故，所以，解得，故.故，故若选②：由题意，即，解得，故.故，故若选③：由可得，即，解得，故.故，故20．已知数列中，，且满足．(1)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析；；(2). 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可；（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）由得，，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴；（2）①，②，①－②得：，.21．已知数列满足,,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)证明:.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【分析】（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为，所以，因为，所以，所以数列是等比数列；(2)因为，所以，所以，又因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；(3)①当时，；②若n是偶数，则，所以当n是偶数时，；③当n是奇数，且时，；综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.22．已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由，利用数列通项与前n项和的关系求得；再由求解；（2）由，利用错位相减法求得， 由，利用累加法得到，从而求得，然后由恒成立求解.【详解】（1）当时，，∴，当时，由得，即，∴数列是公差为2的等差数列，∵，∴.由条件得，，∴，即数列是公比为2的等比数列，∴.（2），设数列的前项和为，则，∴，∴，，∴，由得，累加得，即，∴，∴，令，则，∴，∴，∴.