2022-2023学年江苏省苏州市吴江区高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州市吴江区高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义求得，即得答案.

【详解】∵集合B中大于2的数只有,∴，

故答案为：B.

2．若为幂函数，则（    ）

A． B． C．9 D．

【答案】C

【分析】根据形如 的函数，叫做幂函数，可得 从而可得结果.

【详解】由题意 ，

解得 ，

所以 ，

所以

故选：C.

【点睛】本题考查幂函数的定义，属于基础题.

3．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】换量词，否结论即得原命题的否定.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以:命题“”的否定为“”.

故选A.

4．若，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得和，再根据和，同向不等式相加得，即可得的范围.

【详解】解：因为，故，

因为，故，所以，即，

故选：A.

【点睛】考查不等式的性质的应用，基础题.

5．下列图象表示的函数中没有零点的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据零点定义，数形结合即可容易判断.

【详解】函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.

A项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点；

B项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点；

C，D两项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点.

故选：A.

【点睛】本题考查函数零点个数的求解，涉及数形结合，属简单题.

6．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数对数函数的性质分别判定与0,1的大小关系，即可作出判定.

【详解】因为，，，所以．

故选:B．

7．已知，设函数的零点为m，的零点为n，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m,n之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.

【详解】函数的零点为函数与图像的交点A的横坐标，函数的零点为函数与图像的交点B的横坐标

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图像关于对称，

直线与垂直

故两直线的交点即是A，B的中点，

当且仅当：时等号成立

而，故

故选：A

【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

8．已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（    ）

A．e B． C． D．

【答案】D

【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.

【详解】因为，，

所以，，

即，，

所以，均为方程的根，

又因为方程的根唯一，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关键要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（   ）

A．是的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是的充分不必要条件

D．是的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】分别利用充分不必要条件和必要不充分条件的定义进行判断即可．

【详解】对于A，是的充分不必要条件，正确；

对于B，等价于是的必要不充分条件，正确；

对于C，等价于或是的必要不充分条件，错误；

对于D，是的必要不充分条件，正确；

故选：ABD

10．已知函数，则（    ）

A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值

C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R

【答案】CD

【解析】A选项中，时，真数不恒大于，错误；B选项中，若，真数无最小，则函数没有最小值，错误；C选项中，由于函数为偶函数，通过平移可得对称轴为直线；D选项中，时，判别式大于等于，可得函数的值域为R．

【详解】A选项中，，判别式，

则方程有两个不等根，

故函数 的定义域应该在两根之外，定义域不为R，错误；

B选项中，若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，错误；

C选项中，由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数

的图象，

此时对称轴为，正确；

D选项中，时，判别式，

函数能够取遍上的每一个实数，

故函数的值域为R，正确；

故选：CD

【点睛】关键点点睛：本题考查复合型对数函数的性质，考查函数的对称性，考查定义域为全体实数以及值域为全体实数问题，解决本题的关键点是值域为转化为真数大于零，即真数取遍全体正数，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

11．对于，下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】选项作差法可得，选项由基本不等式可得．

【详解】解：

选项，作差可得，当且仅当时取等号，故错误．

选项，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故错误；

选项，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号，

故正确；

选项，，当且仅当时取等号，故正确；

故选：．

12．已知函数，则下列选项中正确的是（    ）

A．函数的最大值M与最小值N的比值为

B．函数的最大值M与最小值N的比值为2

C．函数的定义域为[]

D．函数的定义域为

【答案】AD

【解析】求出函数的定义域，利用换元法得出函数解析式，由复合型二次函数的性质求出函数的最值，结合选项得出答案．

【详解】由题意，因为，所以可得，即，可令，所以，，则，其定义域为，则，则，所以[，2]，所以函数的最大值M与最小值N的比值为，

故选：AD

三、填空题

13．的圆心角所对的弧长是，则圆半径是______.

【答案】4

【分析】根据弧长公式 代入求解即可．

【详解】∵，,

∴

故答案为:4

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式，属基础题.

14．函数的递减区间是________.

【答案】

【分析】求出函数的定义域，并求出函数的单调递增区间，利用复合函数法可得出函数的单调递减区间.

【详解】对于函数，，即，解得.

由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

外层函数在上为减函数，

由复合函数法可知，函数的单调递减区间为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数单调区间的求解，涉及复合函数法的应用，在求单调区间时，还应注意求出该函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.

15．若函数在上只有一个零点，则a的取值范围________．

【答案】或

【解析】函数在上只有一个零点，即在上只有一个方程根，分离参变量，并利用对勾函数的性质得出a的取值范围．

【详解】由题意，在上只有一个方程根，

化简得，即，令

则在上单调递减，在上单调递增

且

故a的取值范围是或

故答案为： 或

四、双空题

16．函数为定义在上的奇函数，则____________________，_________________.

【答案】         

【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案.

【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，

则有，解可得：，

则，

则；

故答案为：；.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力，属于基础题.

五、解答题

17．（1）在范围内写出与终边相同的角的集合，并判断该角是第几象限角；

（2）已知角的终边经过点，求的值．

【答案】（1），第一象限；

（2）

【分析】（1）表示出与终边相同的角，然后在给定范围内解不等式可得；

（2）根据三角函数的定义求解可得.

【详解】（1）由，解得或

，

所以在范围内写出与终边相同的角的集合为；

因为为第一象限，所以为第一象限.

（2），

，，

.

18．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；

（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.

【详解】（1）解：原式=.

（2）解：原式=.

19．已知.

求（1）的最小值；

（2）的最小值；

（3）正数满足，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）25；（3）.

【分析】（１）利用对数的运算得到，，，所以，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；

（2）将通分合并，并利用化简为，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；

（3）根据，利用基本不等式的变形不等式，求得，进而求得的取值范围.

【详解】解：（1）因为，

所以，，，

所以，

所以，

当且仅当且，即，时取等号，

此时取得最小值；

（2），

，

当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；

（3）因为，当且仅当时取等号，

解得，所以，

因为正数满足，所以，

故的取值范围.

20．“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：

已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）

(1)求的值；

(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.

【答案】(1)

(2)③，，最小值为3125元

【分析】（1）根据题中条件，第天该中药的日销售收入为元，将其代入函数关系式中即可求出的值；

（2）首先根据数据的变化规律和特点选定合适的销售量函数，再根据函数的解析式结合均值定理求解日销售收入的最小值即可.

【详解】（1）由时，，得；

（2）因为数据有增有减，①④不合符题意，

将二三组数据代入②类函数解析式可得：

，解得：，

即得②类函数解析式为.

将二三组数据代入③类函数解析式可得：

，解得：，

即得③类函数解析式为，

将第一组数据代入，

可知：，

将第一组数据代入，

可知：，

因此最合适.

当时

，

当且仅当时，等号成立

当时

函数在上单调递减，

所以，当且仅当时，等号成立

综上可知，当或日销售收入最小值为3125元.

21．已知函数是偶函数.

(1)求实数k的值；

(2)设，若函数f（x）的图象与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；

（2）利用转化法，根据对数的运算性质，结合换元法分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）函数定义域为R，又是偶函数，即，

则，即有，

因为，所以；

（2）因函数与的图象有且只有一个公共点，则方程有唯一解，

由（1）知：，

即方程有且只有一个根，

令，则方程有且只有一个正根，

当时，解得，此时，而，不合题意；

当时，开口向上，且过定点，符合题意，

当时，，解得，

综上：实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：根据二次函数的性质分类讨论求解是解题的关键.

22．已知函数.

(1)当，且时，求的值；

(2)是否存在实数a、，使得函数的定义域、值域都是.若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由；

(3)若存在实数a、使得函数的定义域为时，值域为，求实数m的范围.

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3).

【分析】（1）先通过分类讨论，去掉函数的绝对值符号，结合解析式与单调性可得答案.

（2）（3）将判断a、b是否存在转化为关于a、b相关方程有无解的问题，分a，；a，；，三种情况进行讨论.

【详解】（1）∵由已知可得，

∴在上为减函数，在上为增函数，

由且，可得且，得.

（2）若存在满足条件的实数a、b，则.

①当a，时，在上为减函数

故，即，解得，故此时不存在符合条件的实数a、b.

②当a，时，在上是增函数.

故，即，又.

此时，a、b是方程的根.此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b.

③当，时，

由于，而，故此时不存在符合条件的实数a、b.

综上可知，不存在符合条件的实数a、b.

（3）若存在实数a、，使得函数的定义域为时，值域为，且，.

①当a，时，由于在上是减函数，故.

此时得，得与条件矛盾，所以a、b不存在

②当，时，，.所以a、b不存在.

③故只有a，.

∵在上是增函数，∴，即

又，故a、b是方程的两个不等根.

即关于x的方程有两个大于1的不等实根.

设这两个根为、，则，.

∴，即，解得.

综上，m的范围是

【点睛】关键点点睛：涉及分段函数，函数单调性，一元二次方程根的分布等知识，主要方法为分类讨论.对于含有绝对值的函数常通过分类讨论处理，部分题目也可结合图像或考虑其几何意义.判断数字是否存在问题，常转化为判断相关数字所涉方程或不等式有无解的问题.