还剩12页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2023-2024学年江苏省扬州市仪征市第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案
展开
这是一份2023-2024学年江苏省扬州市仪征市第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】通过求出，然后求出即可求解．
【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则，
则．
故选：B．
2．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】求出圆心到直线的距离即为半径，即可求解.
【详解】因为点到直线的距离是
所以圆的半径为，则圆的方程为：
故选：B
4．若直线平行于直线，且在y轴上的截距为1，则的值分别为
A．1和2B．－1和2
C．1和－2D．－1和－2
【答案】C
【分析】根据两直线平行条件，可得，再将直线方程化为斜截式，利用截距为1可求n，从而得到结果.
【详解】根据两直线平行条件，可得，直线方程，
化为斜截式得，根据截距可得，即，
则.
故本题正确答案为C.
【点睛】本题主要考查求直线的方程和直线平行的等价条件，两条直线平行，则斜率相等或者斜率都不存在，属基础题.
5．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为竹签所在的直线方程为，
设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，
由两平行直线间的距离公式，可得，解得，
所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.
故选：D.
6．已知动点到，两点的距离相等，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知轨迹为线段的垂直平分线，由此可求得轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由可求得结果.
【详解】到两点距离相等，点轨迹为线段的垂直平分线，
又，中点坐标为，
点的轨迹方程为：，即.
由圆的方程知：圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
.
故选：A.
【点睛】结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线距离，为圆的半径）.
7．已知圆：平分圆：的周长，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用圆的圆心在两圆的公共弦上求解．（两圆方程相减可得公共弦所在直线方程）．
【详解】由圆：平分圆：的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，
所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又圆心，所以，所以，
故选：C.
8．已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】由点在直线上，连接，当时，最大，再利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意知，点在直线上，
连接，当时，最大，此时，
所以，故，
又圆心到直线的距离，所以.
故选：D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
二、多选题
9．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内B．圆M关于对称
C．半径为D．直线与圆M相切
【答案】BD
【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.
【详解】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A错；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，故C错；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故选：BD.
10．下列命题错误的是（ ）
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆
C．当时，曲线：表示椭圆
D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若定点，满足，动点满足，
可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；
对于B中，若定点，满足，动点满足，
由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；
对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；
对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，
其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.
故选：AC.
11．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【答案】AD
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
三、填空题
13．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 .
【答案】
【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解.
【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为，
将点代入直线，可得，解得，
即实数的值为.
故答案为：.
14．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是 ．
【答案】．
【详解】由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的方程为，化简得.
15．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是 .
【答案】
【解析】设，，，则，化简得，当点到轴）距离最大时，面积的最大值.
【详解】设，，
则，化简得
如图，
当点到轴）距离最大时，面积的最大值，
面积的最大值是．
故选：A
【点睛】本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．
四、双空题
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为，假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点的纵坐标为 ，最短总路程为 .
【答案】 /
【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，所以，故问题转化为求点到营区的最短距离，再根据圆的几何特征即可求出最短距离；此时点为直线与直线的交点，求出的方程，联立方程组可得点纵坐标.
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得，
所以，
将军从出发到达直线上点再到营区，因为，所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何特征可知最短距离为.
点为直线与直线的交点，直线的方程为，
由，解得，
故点纵坐标为.
故答案为；.
五、解答题
17．已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求的斜边中线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标．
（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．
【详解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，
顶点C在x轴上，设，
则，求得，故．
（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，
故BM的方程为，即．
【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
六、证明题
18．已知两条直线=0.
(1)求证:直线过定点，并求出该定点的坐标；
(2)若a=0，直线l与垂直，且______，求直线l的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在____上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件①:直线l过坐标原点；条件②:坐标原点到直线l的距离为1；条件③:直线l与交点的横坐标为2.
【答案】(1)证明见解析，定点为
(2)答案见解析
【分析】（1）变换方程得到，得到，解得答案.
（2）考虑选择条件①，条件②，条件③，根据题意计算直线方程，结合唯一性得到答案.
【详解】（1），即，，则，故直线过定点.
当时，代入验证成立.
（2）当时，，直线斜率为，则直线的斜率为，
设直线方程为：，即.
选择条件①：，则直线方程为，满足条件；
选择条件②：，解得，不唯一，不满足；
选择条件③：，故交点为，代入直线方程得到，，
故直线方程为：.
综上所述：选择条件①或③，可得直线方程为.
七、解答题
19．椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由ABF2的周长为8得到a，再由焦距为2得到c求解；
（2）由椭圆方程与直线AB方程联立，求得AB的坐标求解.
【详解】（1）由题意知，4a＝8，所以a＝2，
由焦距为2，所以c＝1，所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线AB的方程为x＝－1，
由，x＝－1联立，得，
解得y1＝，y2＝－，
所以＝c·|y1－y2|＝3.
20．已知圆的方程为．
(1)求过点且与圆相切的直线的方程；
(2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；
（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为，进而得解.
【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切；
当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或；
（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即或.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:，且圆C被直线截得的弦长为2.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)，，，.
【分析】（1）将一般方程转化标准方程，再求出弦心距，从而可求半径，故可得标准方程.
（2）就直线是否过原点分类讨论后可求切线的方程.
【详解】（1）圆C:即为，
故，故到直线的距离为，
故，故.
故圆的标准方程为：.
（2）若直线过原点，则其方程为：，故，
故，故.
故此时直线方程为：，.
若直线不过原点，则可设其方程为，
故，故，解得或.
故此时直线方程为：，.
过直线的方程为: ，，，.
22．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；
（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；
（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.
【详解】（1）设，
为切点，
，
由勾股定理有，
又，
，整理得.
点的轨迹方程为：；
（2）设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，
而，
故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到）
此时，，
故半径取最小值时圆的方程为：.
（3）
设关于直线的对称点为，
解，
，（也可以利用是的中点，得到）
，
当三点共线时，取得等号.
则的最大值为.
一、单选题
1．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】通过求出，然后求出即可求解．
【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则，
则．
故选：B．
2．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】求出圆心到直线的距离即为半径，即可求解.
【详解】因为点到直线的距离是
所以圆的半径为，则圆的方程为：
故选：B
4．若直线平行于直线，且在y轴上的截距为1，则的值分别为
A．1和2B．－1和2
C．1和－2D．－1和－2
【答案】C
【分析】根据两直线平行条件，可得，再将直线方程化为斜截式，利用截距为1可求n，从而得到结果.
【详解】根据两直线平行条件，可得，直线方程，
化为斜截式得，根据截距可得，即，
则.
故本题正确答案为C.
【点睛】本题主要考查求直线的方程和直线平行的等价条件，两条直线平行，则斜率相等或者斜率都不存在，属基础题.
5．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为竹签所在的直线方程为，
设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，
由两平行直线间的距离公式，可得，解得，
所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.
故选：D.
6．已知动点到，两点的距离相等，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知轨迹为线段的垂直平分线，由此可求得轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由可求得结果.
【详解】到两点距离相等，点轨迹为线段的垂直平分线，
又，中点坐标为，
点的轨迹方程为：，即.
由圆的方程知：圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
.
故选：A.
【点睛】结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线距离，为圆的半径）.
7．已知圆：平分圆：的周长，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用圆的圆心在两圆的公共弦上求解．（两圆方程相减可得公共弦所在直线方程）．
【详解】由圆：平分圆：的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，
所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又圆心，所以，所以，
故选：C.
8．已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】由点在直线上，连接，当时，最大，再利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意知，点在直线上，
连接，当时，最大，此时，
所以，故，
又圆心到直线的距离，所以.
故选：D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
二、多选题
9．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内B．圆M关于对称
C．半径为D．直线与圆M相切
【答案】BD
【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.
【详解】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A错；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，故C错；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故选：BD.
10．下列命题错误的是（ ）
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆
C．当时，曲线：表示椭圆
D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若定点，满足，动点满足，
可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；
对于B中，若定点，满足，动点满足，
由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；
对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；
对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，
其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.
故选：AC.
11．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【答案】AD
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
三、填空题
13．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 .
【答案】
【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解.
【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为，
将点代入直线，可得，解得，
即实数的值为.
故答案为：.
14．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是 ．
【答案】．
【详解】由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的方程为，化简得.
15．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是 .
【答案】
【解析】设，，，则，化简得，当点到轴）距离最大时，面积的最大值.
【详解】设，，
则，化简得
如图，
当点到轴）距离最大时，面积的最大值，
面积的最大值是．
故选：A
【点睛】本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．
四、双空题
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为，假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点的纵坐标为 ，最短总路程为 .
【答案】 /
【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，所以，故问题转化为求点到营区的最短距离，再根据圆的几何特征即可求出最短距离；此时点为直线与直线的交点，求出的方程，联立方程组可得点纵坐标.
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得，
所以，
将军从出发到达直线上点再到营区，因为，所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何特征可知最短距离为.
点为直线与直线的交点，直线的方程为，
由，解得，
故点纵坐标为.
故答案为；.
五、解答题
17．已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上．
（1）求点C的坐标；
（2）求的斜边中线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标．
（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．
【详解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，
顶点C在x轴上，设，
则，求得，故．
（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，
故BM的方程为，即．
【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
六、证明题
18．已知两条直线=0.
(1)求证:直线过定点，并求出该定点的坐标；
(2)若a=0，直线l与垂直，且______，求直线l的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在____上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件①:直线l过坐标原点；条件②:坐标原点到直线l的距离为1；条件③:直线l与交点的横坐标为2.
【答案】(1)证明见解析，定点为
(2)答案见解析
【分析】（1）变换方程得到，得到，解得答案.
（2）考虑选择条件①，条件②，条件③，根据题意计算直线方程，结合唯一性得到答案.
【详解】（1），即，，则，故直线过定点.
当时，代入验证成立.
（2）当时，，直线斜率为，则直线的斜率为，
设直线方程为：，即.
选择条件①：，则直线方程为，满足条件；
选择条件②：，解得，不唯一，不满足；
选择条件③：，故交点为，代入直线方程得到，，
故直线方程为：.
综上所述：选择条件①或③，可得直线方程为.
七、解答题
19．椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由ABF2的周长为8得到a，再由焦距为2得到c求解；
（2）由椭圆方程与直线AB方程联立，求得AB的坐标求解.
【详解】（1）由题意知，4a＝8，所以a＝2，
由焦距为2，所以c＝1，所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线AB的方程为x＝－1，
由，x＝－1联立，得，
解得y1＝，y2＝－，
所以＝c·|y1－y2|＝3.
20．已知圆的方程为．
(1)求过点且与圆相切的直线的方程；
(2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；
（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为，进而得解.
【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切；
当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或；
（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即或.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:，且圆C被直线截得的弦长为2.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)，，，.
【分析】（1）将一般方程转化标准方程，再求出弦心距，从而可求半径，故可得标准方程.
（2）就直线是否过原点分类讨论后可求切线的方程.
【详解】（1）圆C:即为，
故，故到直线的距离为，
故，故.
故圆的标准方程为：.
（2）若直线过原点，则其方程为：，故，
故，故.
故此时直线方程为：，.
若直线不过原点，则可设其方程为，
故，故，解得或.
故此时直线方程为：，.
过直线的方程为: ，，，.
22．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；
（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；
（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.
【详解】（1）设，
为切点，
，
由勾股定理有，
又，
，整理得.
点的轨迹方程为：；
（2）设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，
而，
故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到）
此时，，
故半径取最小值时圆的方程为：.
（3）
设关于直线的对称点为，
解，
，（也可以利用是的中点，得到）
，
当三点共线时，取得等号.
则的最大值为.
相关试卷
2023-2024学年江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题： 这是一份2023-2024学年江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题，文件包含江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题原卷版docx、江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高二上学期10月月考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高二上学期12月月考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
