2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
所以有．
故选：B
2．已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【分析】先求出导数，再代入求值即可．
【详解】由，则，所以．
故选：C．
3．设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．成等比数列B．成等比数列
C．成等比数列D．成等比数列
【答案】D
【详解】
项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．182B．128C．56D．42
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
由，，得，
解得，所以；
故选:D.
5．已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，然后利用求出c，即可求出焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，可得：，
所以，所以焦距为.
故选：D
6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.
【详解】由题意，易知直线的方程为，且,
∵圆可化为，
∴圆心为，半径为1，
又∵圆心到直线的距离，
∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，
故面积的最小值为.
故选：D.
7．对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（ ）
A．B．C．D．63
【答案】C
【分析】求出第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，即得解.
【详解】解：前10行的数共有（个），
所以第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，
则第11行所有数的和为.
故选：C
8．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【详解】设切点为，，
又，所以切线斜率，
所以切线方程为，
又切线过点，
则，，
即，
由过点可作两条切线，
所以有两个正根，
即，整理可得，
故选：C.
二、多选题
9．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则有，解得或，
当时数列不是单调数列，所以，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
，
所以成立，故D正确.
故选:BD.
10．下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可.
【详解】由在上是增函数，故A正确；
对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误；
函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；
，
定义域为，
在定义域内不是增函数，故D错误；
故选：AC.
11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相交
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．
故选：ACD．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（ ）
A．成等差数列B．若，则C．D．
【答案】ABC
【分析】A选项，由椭圆定义及成等差数列，得到，，，，故，A正确；B选项，在A选项基础上得到，，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由弦长公式得到，联立得到；C选项，由焦半径公式推导出，C正确；D选项，在的基础上，得到，D错误.
【详解】A选项，由椭圆定义可知：，
又成等差数列，故，
则，则，则，，
又，
故，故A正确；
B选项，若，此时，，故，且，
设，因为直线斜率一定不为0，
设直线为，与联立得：
，即
则，
因为，所以，
联立解得，故
由弦长公式可得：，
所以，平方得：，
其中，
故，解得：，即，
由可得：，
整理得：，即，
故，解得：或，
因为，所以舍去，故，B正确；
C选项，设椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，
下面证明，，
过点M作MA⊥椭圆的左准线于点A，作MB⊥椭圆右准线于点B，
则有椭圆的第二定义可知：，
其中，
则，，
故，故，
，故，所以，C正确；
D选项，设直线为，由得：，故，D错误.
故选：ABC
【点睛】椭圆焦半径公式：
（1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，
则，，
（2）椭圆上一点，其中椭圆下上焦点分别为，
则，，
记忆口诀：左加右减，下加上减.
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】利用函数的导数公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：
14．已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为 .
【答案】，2，（答案不唯一）
【分析】根据等差数列、等比数列的定义求解.
【详解】，2，成等比数列，而，，2成等差数列，
∴，，可取，2，.
故答案为: ，2，.（答案不唯一）
15．设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.
【详解】如图所示：
因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，
因为，所以，
解得：.
【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.
【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，
因为D也是AB中点，所以，
，
因为在圆内，所以，∴，
又因为，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
∴两圆有且仅有一个公共点，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案为：.
四、解答题
17．设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）因为，所以，两式相减整理得数列为等比数列，进而得通项；
（2）由得，直接利用“累加法”可得数列的通项公式.
【详解】（1）因为，
所以，
所以当时，，
整理得，
由，令，得，解得，
所以是首项为1，公比为2的等比数列.所以.
（2）由得.
累加得，
当时也满足上式，所以.
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)切线方程为，切点为.
【分析】（1）求导得到导函数，计算，得到切线方程.
（2）设切点为，求导计算得到斜率，确定函数切线，根据切线过原点得到，计算得到答案.
【详解】（1），，.
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设切点为，，
切线方程为，.
切线经过原点，故，所以，，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为，切点为.
19．已知是等差数列前项和，，公差且 从“①为与的等比中项”，“②等比数列的公比”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）分别选择①和②列方程计算，解得基本量，利用公差判断得①符合条件，即得通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：（1）若选①，为与的等比中项，则，
由为等差数列，，得
把代入上式，可得，即
解得或，又因为公差，故，
，故；
若选②，等比数列的公比，
可得，即，即有即，
又，可得，即，
解方程得，不符合题意，故选①，
此时；
（2）因为，所以
.
【点睛】结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
20．已知圆，点，过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于，两点.
(1)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)当时，求点的坐标.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求出，进而根据点横坐标为即可求解.
【详解】（1）由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为，
整理得，
因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，
又因为，解得或，
所以直线的方程为或；
（2）当时，，，
因为直线，都是圆C的切线，所以直线的方程为；
此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即，
圆心C到直线的距离，解得或（舍去），
则直线，把代入，解得，
所以点Q的坐标为.
21．设函数，其中为自然对数的底数.
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；
（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可得在上恒成立；即在上恒成立，令，利用导数求出其最小值即可；
（2）设切点为，则，由题意得，得，，令，利用导数求出其单调区间和最值即可
【详解】（1）函数的定义域为，，
∵在上是增函数
∴在上恒成立；即在上恒成立
设，则
由得
∴在上为增函数；即
∴.
（2）设切点为，则，
因为，所以，得，
所以.
设，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
因为方程仅有一解，
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得，，得到，然后构造函数，利用导数求得，从而得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
22．已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点．
(1)过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；
(2)过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】设直线的方程为：，联立可得：．求出的坐标，然后求解，推出抛物线方程；
设点，直线方程为：，联立可得：．利用韦达定理，结合又，求出的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值，推出结果即可．
【详解】（1）由题可知：设直线的方程为：，
联立可得：．
则△，故且，即点,
故，所以，抛物线的方程：；
（2）设点，直线方程为：，
联立可得：．
故，从而，
又，则，
从而，且，则，
从而，
，
由此可得．