江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试题(含答案)

这是一份江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）．
A．2.75B．2.80C．2.81D．2.82
3．已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
5．已知向量与的夹角为60º，，则=（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
6．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4B．2，8C．2，4D．3，8
7．已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．已知锐角中，内角A、B、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF异面B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得截面是平行四边形 D．点C和点B到平面的距离相等
10．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，
则以下选项正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与D互为对立事件
C． D．
11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ）
A．取值范围为B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为___________
13．已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________．
14．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则b=__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值和第25百分位数；
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．
16．（15分）如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）设平面与平面的交线为l，求证：．
17．（15分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；（3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
18．（17分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）设，当的值最大时，求的面积．
19．（17分）如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度春学期5月阶段检测试卷
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． B2． B3． A4． D5． B6． D7． C
8．【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可．
【详解】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ABD 11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）,……………………2分
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
所以第25百分位数为30．……………………4分
（2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，……………………3分
设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，
从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内的样本事件有种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．……………………4分
16．【解析】
【小问1详解】
三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则，
又，，平面，于是得平面，而平面，
所以平面平面……………………………………8分
【小问2详解】
连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面，
因此，平面，而平面平面，平面，
所以．……………………………………7分
17．（15分）
【详解】（1）甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为
，．……………………………………2分
(2)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．
都付0元的概率为；……………………………………2分
都付2元的概率为；……………………………………2分
都付4元的概率为．……………………………………2分
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．……………………………………1分
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ元，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以可得．……………………………………4分
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为．……………………………………2分
18．（17分）【解析】
【小问1详解】
由题意在中，，，由正弦定理得，
又因为，故，故，
又，所以，得到.
【小问2详解】
由题意及（1）知，，，由正弦定理知外接圆直径，
故
，
，
其中，且，
因为，故，而，
故的最大值为1，此时，即
故，，
所以，
又，
故，
此时.
19 ．（17分【详解】（1）根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即．（1分）
∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面，（4分）
∵平面，∴．（5分）
（2）如图所示，取的中点，连接，则，且．（6分）
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，（9分）
∴．（10分）
（3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接．
∵平面，平面平面，
∴,(13分）∴在中，.
∵，∴，
∴，（15分）即，
∴在棱上存在一点P，且，（17分）
使得平面.
【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是确定动点P的位置，使得，利用三角形相似得出与之间的关系．