2022-2023学年江苏省苏州市第十中学高二上学期10月阶段检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州市第十中学高二上学期10月阶段检测数学试题

一、单选题

1．如果直线的斜率为2，，则直线的斜率为（    ）

A． B．2 C． D．-2

【答案】A

【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于,计算可得的斜率.

【详解】由于直线的斜率为2且，所以直线的斜率为.

故选：A

2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（    ）

A．80 B．120 C．150 D．180

【答案】C

【分析】根据等比数列的片段和性质，即可容易求得结果.

【详解】因为数列是等比数列，

故可得依然成等比数列，

因为，故可得，

故该数列的首项为，公比为2，

故可得.

故选：.

【点睛】本题考查等比数列的前项和，属基础题.

3．记为等差数列的前项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则等于

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】根据题意得，结合等差数列的前n项和公式，即可求出的值．

【详解】依题：，∴.

【点睛】考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题．

4．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】A

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.

【详解】如图所示：

由题意得，所求直线的斜率满足或，

即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是

故选：A.

5．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.

【详解】，，，，.

，.

故选：D.

【点睛】本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

6．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）

A．89 B．55 C．34 D．144

【答案】C

【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.

【详解】设第行实心圆点的个数为，

由题图可得，，，，，，，……，

则，

故，，，．

故选：C．

7．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）

A．96 B．97 C．98 D．99

【答案】C

【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.

【详解】令，

，

两式相加得：

，

∴，

故选:C．

8．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.

【详解】因为为等差比数列，，，，

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，

所以．

故选:C．

二、多选题

9．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ）．

A．的斜率为2，过点，

B．经过点，，平行于轴，且不经过点

C．经过点，，经过点，

D．的方向向量为，的倾斜角为

【答案】BC

【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.

【详解】对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错；

对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确；

对于C，由题意得，，，所以，故C正确；

对于D，直线的斜率为，直线的斜率为，

所以与不平行，故D错．

故选：BC．

10．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有

A．当时，取最大值 B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】BC

【分析】首先根据，得到，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】因为，所以，解得.

对选项A，因为无法确定和的正负性，

所以无法确定是否有最大值，故A错误.

对选项B，，

故B正确.

对选项C，，

故C正确.

对选项D，，

，

因为，所以，，

，故D错误.

故选：BC

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前项和的计算，属于简单题.

11．若数列对任意满足，若，则可能是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】ABD

【分析】根据数列的递推关系列举即可求解.

【详解】由得或，

由，若，，则

由，若，

由，若，

由可知要么为3，要么为2，可以为5，6或者4，可以为7，10，8，12，6，故不可能为9，

故选：ABD

12．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（　　）

A．数列{an}是公差为2的等差数列

B．满足Sn＜100的n的最大值是9

C．Sn除以4的余数只能为0或1

D．2Sn＝nan

【答案】ABC

【分析】令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断

【详解】由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故

令，则

则

即

故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；

，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；

当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；

，D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知数列{an}满足an+1＞an，且其前n项和Sn满足Sn+1＜Sn，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式an＝_____________.

【答案】(答案不唯一)

【分析】利用数列的单调性和的正负性即可求解

【详解】根据题意，Sn+1＜Sn，则有an+1＝Sn+1﹣Sn＜0，

又由数列{an}满足an+1＞an，故数列{an}为各项为负的递增的列

其通项公式可以为：；

故答案为：(答案不唯一)

14．一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.

【答案】3

【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可.

【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,

故有

,

两式相减,

因为,

故,

故.

故答案为:3

15．已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则___．

【答案】64

【分析】由，是函数的两个零点，可得，进而由递推关系依次求解数列的项结合即可得解.

【详解】由，是函数的两个零点，可得.

由，得，.

.

故答案为64.

【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，采用的方法数一一列举的方式呈现规律，属于中档题.

四、双空题

16．数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.

【答案】         

【分析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮.

【详解】由等差数列的性质可得，

，

若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，

所以，使得为整数的值个数为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．

(1)求数列，的通项公式

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）根据可判断是等比数列，进而根据等差和等比数列基本量的计算即可求解通项公式,

（2）根据分组求和即可求解.

【详解】（1）因为数列满足，，，

所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，

即数列的通项公式为，

设等差数列的公差为，由，，

得，解得，所以，，

即数列的通项公式为

（2）有（1）可知，

所以，数列的前项和

，即．

18．已知数列的前项和是，

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式；

（2）因为数列的首项为正且是一个递减数列， 令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和.

【详解】（1）当时，，

当时，

把代入上式，满足题意.

数列的通项公式.

（2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，

令，则数列前34为正，后面的项全为负，

设数列的前项和为，则当，，

当时，

数列的前项和为

19．已知等差数列的前项和，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，设数列的前项和，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)结合已知条件分别求出和公差，然后利用等差数列的公式求解即可；(2)结合已知条件利用裂项相消法求出，进而即可证明.

【详解】（1）不妨设等差数列的公差为，

则，即  ①，

由可知，  ②

联立①②可得，，，

故的通项公式为.

（2）由(1)中结论可知，，

从而，

因为，所以.

20．张江某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，由于客观原因，A型车床为企业创造的价值是逐年减少的（以投产当年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．

(1)求数列的通项公式；

(2)记为数列的前n项和，设．企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）

【答案】(1)，；

(2)第年初.

【分析】（1）根据题意，该数列是分段数列，前一段是等差数列，后一段是等比数列，利用条件写出即可；（2）利用分组求和，写出后解不等式即可，注意递减性质的运用.

【详解】（1）由题意，是首项为，公差为的等差数列，故；，是首项为，公比为的等比数列，故，于是，

（2）当，时，是递减的等差数列，，是递减的等比数列，又，故是单调递减数列，于是由题意可知是递减数列.

,根据递减的性质可知，；当且时，，当，，当，，根据递减的性质可知，时，即有，故企业需要在第年更换车床.

21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

已知正项数列满足，，__________.

(1)求数列的通项公式：

(2)设数列的前项和为，求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）选①根据递推关系可得，然后利用等比数列的通项即得，选②根据条件可得，然后利用等比数列的定义及通项即得，选③根据项与前项和的关系即得，进而即得；

（2）由题可得，进而可得，然后通过构造数列，利用作差法研究数列的性质，进而即得.

【详解】（1）若选①，，，则，，

∴，又，，

∴，，

所以；

若选②，，则，又，

所以，即，又，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以；

若选③，，则，

所以，即，又，，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以；

（2）由题可知，

所以

，

所以，即，

令，则，

当时，，此时，

所以时，，当时，，

即，而，

当时，，

由，可得，

所以不等式的解集为.

22．若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠0，则称数列为{an}的“L数列”．

（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为，求数列{an}的通项公式；

（2）若an＝n+k﹣3（k＞0），且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；

（3）若，其中p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn+1成立，并证明你的结论．

【答案】（1）  （2）   （3）存在等差数列满足题意，证明见详解

【分析】（1）由题意知即，利用累乘法即可求得通项公式；

（2）由可得，设，根据题意{bn}为递增数列，只需－＞0恒成立即可求得满足题意的k值；

（3）根据的通项公式求出，利用放缩法及等比数列的前n项和公式可得，再次利用放缩可得，设，易证其为等差数列，结论成立.

【详解】（1）由题意知，即，

 所以，

 即数列的通项公式为.

（2）因为，且n≥2，n∈N*时，，所以，

设，n∈N*，所以1－．

因为{bn}为递增数列，所以对n∈N*恒成立，

即－＞0对恒成立．

因为－＝，

所以－＞0等价于．

当0＜k≤1时，因为n＝1时，，不符合题意．

当k＞1时，，所以，

综上，k的取值范围是．

（3）存在满足条件的等差数列，证明如下：

因为，k，

所以，又因为，所以，

所以，

即，因为，所以，

设，则，且，

 所以存在等差数列满足题意．

【点睛】本题考查数列与不等式的综合问题，涉及累乘法求数列通项公式、等比数列的前n项和性质、放缩法证明不等式、不等式的性质，属于较难题.