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2023-2024学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期12月阶段性学业水平调研数学含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期12月阶段性学业水平调研数学含答案，文件包含数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列中，，，则（）
A. 4或B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
2. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.
3. 已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
4. 已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.
【详解】由已知，解得，
故抛物线的准线方程为，
故选：A.
5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
6. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
故选：A.
7. 已知数列的前项和为，，当时，，则等于（）
A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011
【答案】D
【解析】
【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当时，，，
两式作差可得，
即，
即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，
所以，
故选：．
8. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（）
A. 1B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为点、在椭圆上得，直线，的斜率之积为得，两边平方化简得，代入可得答案.
【详解】因为点，在椭圆上，
所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，
可得，化简得，
则
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题为真命题的是（）
A. 过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B. 直线的倾斜角的范围是
C. 直线与直线之间的距离是
D. 直线过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D.
【详解】对于A，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或，故A错误；
对于B，直线的斜率，
所以倾斜角的范围是，故B正确；
对于C，直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故C错误；
对于D，直线，即为，
令，解得，
所以直线过定点，故D正确.
故选：BD.
10. 设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）
A. 为定值B. 直线过抛物线的焦点
C. 最小值为16D. 到直线的距离最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.
11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）
A. B.
C. 的值是中最大的D. 使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
12. 已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，过作，垂足为，下列结论正确的是（）
A. 在定直线上B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的定义与内切圆的性质可判断A，由三角形面积公式可判断B，由双曲线定义与三角形中位线的性质可判断C，数形结合可判断D
【详解】设的内切圆在上的切点分别为，
设切点的坐标为，
因为
，
所以，
因为内切圆圆心为，
所以轴，
所以内切圆圆心在直线上，故A正确；
因为（为内切圆的半径），
，
所以不为定值，故B错误；
，垂足为，设，
为的角平分线，
为等腰三角形，,
因为，
在中，为中位线，
所以，所以为定值，故C正确；
因为为圆在轴右侧上的动点，
在双曲线右支上的一个动点，
结合图象易知不是定值.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线与垂直，则m的值为______．
【答案】0或-9##-9或0
【解析】
【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线与垂直，则有，解得或，
所以m的值为0或-9.
故答案为：0或-9
14. 在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解．
【详解】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
15. 若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出直线的方程为，设，将直线方程与椭圆方程联立可得，，由可得：，进而化简即可求解.
【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为，则斜率为，
直线的方程为，设，
联立，得．
解得：，．
，．
即，
即，解得：.
故答案为：．
16. 过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
当时，取到最大值．
故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：
（1）曲线C是椭圆；
（2）曲线C双曲线．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；
（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.
【小问1详解】
∵曲线C的方程为，
∴，又曲线C是椭圆，
∴，解得且，
∴实数m的取值范围为；
【小问2详解】
∵曲线C双曲线，
∴，
解得或，
故实数m的取值范围为.
18. 已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可
（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可
【小问1详解】
由的焦点坐标为
由双曲线与有相同的焦点
所以双曲线的焦点坐标为
故，
在双曲线中：①
又双曲线经过点
所以②
解得：
所以双曲线的方程为：
【小问2详解】
由题知直线斜率存在且不为0，
设直线的方程为：
由直线与双曲线交于两点，设
所以消去整理得：
所以
所以
由的中点坐标为
所以
所以.
19. 已知点及圆：.
(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．
(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）见解析
【解析】
【分析】
【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.
试题解析:
(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，
由＝1，解得k＝.
所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.
当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件
(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，
故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，
解得a<0.
则实数a的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a存在．
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.
而kAB＝a＝－，所以a＝.
由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.
20. 已知数列满足，数列的首项为2，且满足
（1）求和的通项公式
（2）记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．
（3）设，证明：．
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的关系即可作差得，根据等差数列的性质可求解.
（2）根据的单调性，即可求解.
（3）利用放缩法得，即可结合裂项求和求解.
【小问1详解】
由可得：
时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，故，
由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以，则.
【小问2详解】
由和可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而,
由于集合M的元素个数为2，所以，故.
【小问3详解】
由得，，
由于，
因此
.
21. 已知双曲线左焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可.
（2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明.
【小问1详解】
由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程为.
【小问2详解】
证明：如图所示，
由题意知，，，
由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，，，
联立，
，
则，，
又因为过点T直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内，
所以，，，，
所以，即，解得，
设直线方程为，
直线方程为，
联立，
即，
又，
所以，
所以点Q在直线上.
22. 在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.
【解析】
【分析】（1）由切线性质得，由此可求得点坐标，从而得圆方程．
（2）设切线方程为，由直线与圆相切得出的方程，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得．
（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线有一条落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1），则，又，又，故解得，所以，所以圆M的方程为
（2）因为直线与圆M相切，
所以直线与圆联立，
可得同理，由判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，
∴因为点在椭圆C上，所以，所以；
（3）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上.所以
整理得，所以所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|
所以的最大值为．
【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列中，，，则（）
A. 4或B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
2. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.
3. 已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
4. 已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.
【详解】由已知，解得，
故抛物线的准线方程为，
故选：A.
5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
6. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
故选：A.
7. 已知数列的前项和为，，当时，，则等于（）
A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011
【答案】D
【解析】
【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当时，，，
两式作差可得，
即，
即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，
所以，
故选：．
8. 在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（）
A. 1B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为点、在椭圆上得，直线，的斜率之积为得，两边平方化简得，代入可得答案.
【详解】因为点，在椭圆上，
所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，
可得，化简得，
则
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题为真命题的是（）
A. 过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B. 直线的倾斜角的范围是
C. 直线与直线之间的距离是
D. 直线过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D.
【详解】对于A，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或，故A错误；
对于B，直线的斜率，
所以倾斜角的范围是，故B正确；
对于C，直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故C错误；
对于D，直线，即为，
令，解得，
所以直线过定点，故D正确.
故选：BD.
10. 设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）
A. 为定值B. 直线过抛物线的焦点
C. 最小值为16D. 到直线的距离最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.
11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）
A. B.
C. 的值是中最大的D. 使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
12. 已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，过作，垂足为，下列结论正确的是（）
A. 在定直线上B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的定义与内切圆的性质可判断A，由三角形面积公式可判断B，由双曲线定义与三角形中位线的性质可判断C，数形结合可判断D
【详解】设的内切圆在上的切点分别为，
设切点的坐标为，
因为
，
所以，
因为内切圆圆心为，
所以轴，
所以内切圆圆心在直线上，故A正确；
因为（为内切圆的半径），
，
所以不为定值，故B错误；
，垂足为，设，
为的角平分线，
为等腰三角形，,
因为，
在中，为中位线，
所以，所以为定值，故C正确；
因为为圆在轴右侧上的动点，
在双曲线右支上的一个动点，
结合图象易知不是定值.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线与垂直，则m的值为______．
【答案】0或-9##-9或0
【解析】
【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线与垂直，则有，解得或，
所以m的值为0或-9.
故答案为：0或-9
14. 在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解．
【详解】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
15. 若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出直线的方程为，设，将直线方程与椭圆方程联立可得，，由可得：，进而化简即可求解.
【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为，则斜率为，
直线的方程为，设，
联立，得．
解得：，．
，．
即，
即，解得：.
故答案为：．
16. 过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
当时，取到最大值．
故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：
（1）曲线C是椭圆；
（2）曲线C双曲线．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；
（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.
【小问1详解】
∵曲线C的方程为，
∴，又曲线C是椭圆，
∴，解得且，
∴实数m的取值范围为；
【小问2详解】
∵曲线C双曲线，
∴，
解得或，
故实数m的取值范围为.
18. 已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可
（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可
【小问1详解】
由的焦点坐标为
由双曲线与有相同的焦点
所以双曲线的焦点坐标为
故，
在双曲线中：①
又双曲线经过点
所以②
解得：
所以双曲线的方程为：
【小问2详解】
由题知直线斜率存在且不为0，
设直线的方程为：
由直线与双曲线交于两点，设
所以消去整理得：
所以
所以
由的中点坐标为
所以
所以.
19. 已知点及圆：.
(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．
(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）见解析
【解析】
【分析】
【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.
试题解析:
(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，
由＝1，解得k＝.
所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.
当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件
(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，
故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，
解得a<0.
则实数a的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a存在．
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.
而kAB＝a＝－，所以a＝.
由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.
20. 已知数列满足，数列的首项为2，且满足
（1）求和的通项公式
（2）记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围．
（3）设，证明：．
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的关系即可作差得，根据等差数列的性质可求解.
（2）根据的单调性，即可求解.
（3）利用放缩法得，即可结合裂项求和求解.
【小问1详解】
由可得：
时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，故，
由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2，
所以，则.
【小问2详解】
由和可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而,
由于集合M的元素个数为2，所以，故.
【小问3详解】
由得，，
由于，
因此
.
21. 已知双曲线左焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可.
（2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明.
【小问1详解】
由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程为.
【小问2详解】
证明：如图所示，
由题意知，，，
由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，，，
联立，
，
则，，
又因为过点T直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内，
所以，，，，
所以，即，解得，
设直线方程为，
直线方程为，
联立，
即，
又，
所以，
所以点Q在直线上.
22. 在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；
（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.
【解析】
【分析】（1）由切线性质得，由此可求得点坐标，从而得圆方程．
（2）设切线方程为，由直线与圆相切得出的方程，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得．
（3）当直线不落在坐标轴上时，设，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线有一条落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1），则，又，又，故解得，所以，所以圆M的方程为
（2）因为直线与圆M相切，
所以直线与圆联立，
可得同理，由判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，
∴因为点在椭圆C上，所以，所以；
（3）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上.所以
整理得，所以所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|
所以的最大值为．
【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
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