2023届江苏省苏州市高三上学期12月阶段性检测数学试题（解析版）

2023届江苏省苏州市高三上学期12月阶段性检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的意义，结合交运算即可判断和选择.

【详解】因为，，，

所以，则.

故选：.

2．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（    ）．（氟原子的大小可以忽略不计）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积.

【详解】如图，连接，设交于点，连接，

因为，为的中点，也是的中点，

所以，

因为，平面，

所以平面，

令相邻两个氟原子之间的距离为，则，，

因为，所以，

因为四边形为正方形，所以，

所以，

所以该正八面体的体积是，

故选：D

3．已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（    ）

A． B．17 C． D．15

【答案】A

【分析】令，结合已知有，列方程求参数a、b，进而求复数的模.

【详解】若，则，而，

由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），

所以，即，则，

所以.

故选：A

4．已知点，是与方向相同的单位向量，则在直线上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求得的坐标，以及在方向的投影，即可求得结果.

【详解】根据题意可得：，

故在方向的投影为，则在直线上的投影向量为.

故选：A.

5．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：

①区间的长度超过；② 的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围.

【详解】，    

∵函数在区间内单调递增，

∴，∴，

∵，∴，

若在区间上单调递增，

则

解得，

当时，，

当时，，

当取其它值时不满足，

∴的取值范围为，

故选：D

6．如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论．

【详解】设，圆半径为，则，

时，，，

时，如下图，，，

又，

所以，，

由正弦函数的图象知，只有A满足题意．

故选：A．

7．已知，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】A

【分析】根据，的特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小.

【详解】设，则，

故单调递减，故，

由，

设函数，则，

当时，，递减，当时，，递增，

故，即，当时取等号，

由于 ，故，即，

故，

故选：A.

【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.

8．已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　）

A．（-1，0） B．（1，4）

C．（0，6） D．（-1，5）

【答案】D

【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.

【详解】解：设，AB的中点，则，所以，

又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，

因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，

又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，

整理得，即，解得，

所以点B的横坐标的取值范围是，

故选：D.

二、多选题

9．如图所示，已知几何体是正方体，则（    ）

A．平面 B．平面

C．异面直线与所成的角为60° D．

【答案】BC

【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，

所以与所成角为，所以与所成角为，

所以A选项错误，C选项正确.

根据正方体的性质可知平面平面，

由于平面，所以平面，B选项正确.

根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，

所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误.

故选：BC

10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（    ）

A．B的最小值为 B．

C． D．的取值范围为

【答案】BC

【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.

【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则，

∴，，A错．

对选项B，

，B对．

对于选项C，，C对．

对于选项D，令，则，∴b＝aq，，∴，

∴，D错．

故选：BC

11．已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ）

A．椭圆的离心率的取值范围是

B．椭圆上存在点使得

C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为

D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A，根据点在椭圆外利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为上下顶点处；对于C，根据点与椭圆的位置关系确定距离最值；对于D，利用基本不等式求解.

【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为，

因为在椭圆外，所以解得，

因为，所以，故A正确；

对于B，当点位于上下顶点时，最大，

此时，

，

所以为钝角，所以椭圆上存在点使得，故B正确；

对于C，由离心率，所以，

所以椭圆方程为，设点,

则，

当时有最大值为,此时,故C错误；

对于D，，

，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，

故D正确；

故选:ABD.

12．设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为 B．

C．曲线存在对称轴 D．曲线存在对称中心

【答案】ABC

【分析】根据配方法、函数对称的性质、导数、正弦函数的性质，结合不等式的性质进行判断即可.

【详解】A：因为，

所以，当且仅当时，故A正确；

B：等价于，设，，

所以函数在时单调递增，

因此有，即，

而设函数，，

所以是实数集上的偶函数，因此有，

即，，，故B正确；

C：因为，

所以曲线关于直线对称，故C正确；

D：设曲线存在对称点，设为，则有，

当时，则有，

当时，则有，

即，

因此有，所以为整数，，

令，，

而，

显然不恒成立，故D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知是第四象限角，且，则___________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式化简可得，结合同角三角函数关系式求得，继而求得，从而利用诱导公式求得答案.

【详解】由可得，即，

所以，解得或（舍去），

因为是第四象限角，故，

所以，

故答案为：.

14．已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________.

【答案】8

【分析】设出线段的中点，由垂径定理得到，由基本不等式求出，从而得到△ABC的面积最大值.

【详解】圆的圆心为，半径为4，

设线段的中点为，

由垂径定理得：，

由基本不等式可得：，

所以，当且仅当时，等号成立，

则，

故答案为：8

15．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

【答案】13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

16．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为_________

【答案】.

【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.

【详解】因为的定义域为R，

，

所以函数是奇函数，

由，

可知在上单调递增，

所以函数为R上单调递增的奇函数，

所以不等式对任意均成立等价于

，

即，即对任意均成立，

又，当且仅当时取等号，

所以的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．设数列的前项和为，若，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据是等比数列得，进而得，

（2）根据错位相减法即可求解，进而可证明.

【详解】（1）由得，当时，

两式作差得：，即，即，

令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．

所以，， 即．故 ．

（2）由（1）知

两式作差得：

所以．

18．在中，角的对边分别为已知.

(1)求角的大小；

(2)边上有一点，满足，且，求周长的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；

（2）利用数量积的定义得到，求出.由面积相等得到.整理出周长

，令， ，得到，利用单调性法求出的周长最小值.

【详解】（1），由正弦定理得：.

.

.

（2），

化简得：周长

令，即

又由复合函数单调性知在时单调递增

当时，.

即的周长最小值为.

19．已知直三棱柱，，，．

(1)证明：∥平面；

(2)当最短时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，以为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，求两向量的数量积可得结论；

（2）先求出的最小值，从而可得，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）直三棱柱中，，

以为正交基底如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

所以．

因为，

所以，

所以．

因为平面，

所以平面的一个法向量为．

因为，平面，

所以∥平面ABC．

（2）由（1）得，．

当时，最短，所以，．

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，，

所以平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，令，则，

设二面角的平面角为，则

，

由图可知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

20．在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．

(1)若cos∠CBD＝，求；

(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.

（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.

【详解】（1）

如图，，设，，得

，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，

（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，

四边形ABCD的面积为，得

.

当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M， N，记和的面积分别为S1和S2.

（i）求证：存在常数λ，使得成立；

（ii）求S2- S1的最大值.

【答案】(1)

(2)(i) 存在常数 ，使得成立；

(ii) 的最大值为 .

【分析】(1)求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出 ，然后就可以得到椭圆的标准方程；

(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出 的y坐标值与P的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理 当且仅当 时取等号，求最大值.

【详解】（1）先求第一象限P点的坐标：

，所以P点的坐标为 ，

所以 ，

所以椭圆E的方程为

（2）设 ，

易知直线 和直线的坐标均不为零，

因为 ，所以设直线的方程为 ，直线的方程为，

由

所以 ，因为，，

所以

所以

同理由

所以 ，因为，，

所以

所以，

因为 ，，

(i)所以

所以存在常数 ，使得成立.

(ii)

，

当且仅当 ，时取等号，

所以 的最大值为 .

22．已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)记，存在满足，证明：

①存在唯一极小值点；

②.

【答案】(1)；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】（1）求得以及，结合导数的几何意义，直接写出切线方程即可；

（2）①对参数分类讨论，且当时，构造函数，根据其与的交点个数，从而判断有且仅有一个根，即可证明；

②根据已知条件，构造函数，从而对已知条件进行放缩后只需证明，令，再次构造函数，即可通过，证明所证不等式.

【详解】（1）当时，

，故切线方程为：，

即.

（2）

①当

故恒成立，在上递减，不满足且这一条件；

当时，存在 ， ，

下证有且仅有一根.

只有一个交点.

恒成立，故在上递减，

仅有唯一交点.

此时存在满足，

且当 ， ，

故存在唯一极小值点.

②由题意知，

，

令 单调递增，

，

，

欲证，即证，

只需证：成立，

两边同除，令

即证，

设

综上：成立，即成立.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值点问题，以及证明不等式；其中第二问处理的关键是构造函数进行适度的放缩，以及在证明时，令，使得双变量问题转化为单变量问题进行处理，属综合困难题.