人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第32讲 拓展一：中点弦问题（2份打包，原卷版+含解析）

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第07讲 拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程，得 SKIPIF 1 < 0 ；  SKIPIF 1 < 0 ；将两式相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；最后整理得： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 设直线和曲线的两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ；  SKIPIF 1 < 0 ；将两式相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ；整理得： SKIPIF 1 < 0 二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且点M平分弦 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，求过点 SKIPIF 1 < 0 且被点 SKIPIF 1 < 0 平分的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且弦 SKIPIF 1 < 0 恰被 SKIPIF 1 < 0 平分，求 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴比短轴长2，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 垂直于动直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为原点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且C的一条渐近线经过点 SKIPIF 1 < 0 .(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0  的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)动弦 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0  ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作一条直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试求弦 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹方程.【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆所有斜率为 SKIPIF 1 < 0 的弦的中点的轨迹方程为 ．题型04确定参数的取值范围 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，A为椭圆的下顶点，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，若AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 .（1）求椭圆的方程；（2）直线 SKIPIF 1 < 0 （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围.题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 .（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；（2）设过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为垂足.问：是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的长为定值？若存在，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交AB于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值，若存在，求出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，若过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，所得弦长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2．(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上不同于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的两个不同的动点，且以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，试探究是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，则求出该定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及定值 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，请说明理由．