高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式学案设计，共4页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)学会推导、证明不等式，理解基本不等式的几何意义．(2)会用基本不等式求一些简单的最值问题．
【问题探究】 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
题型 1对基本不等式的理解
例1 (多选)下列推导过程，其中正确的是( )
A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2
B．因为a>3，所以＋a≥2＝4
C．因为a<0，所以＋a≥2＝4
D．因为x，y∈R，xy<0，所以＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2，当且仅当x＝－y≠0时，等号成立
学霸笔记：基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．
跟踪训练1 已知a≠0，下列各不等式恒成立的是( )
A．a＋>2 B．a＋≥2
C．a＋≤－2 D．|a＋|≥2
题型 2利用基本不等式直接求最值
例2 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值．
学霸笔记：应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
跟踪训练2 (1)已知a>0，则a＋＋1的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为( )
A．3 B．3＋2
C．3－2D．－1
题型 3利用基本不等式求两个变量和(积)的最值
例3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
一题多变 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
学霸笔记：当a>0，b>0时，
(1)若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，这可以用基本不等式求得．
(2)若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，这可以用基本不等式a＋b≥2求得．不论哪种情况都要注意等号取得的条件．
跟踪训练3 (1)已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b的最小值是( )
A．4 B．6 C．2 D．8
(2)已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A．最大值B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
随堂练习
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．x2＋≥2 D．
3．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．9 B．18 C．9 D．27
4．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．
课堂小结
1.基本不等式的推导与证明．
2．利用基本不等式求最值要满足条件“一正、二定、三相等”，缺一不可．
第1课时 基本不等式
问题探究 提示：如题图，可证△ACD∽△DCB，因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为.显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．
例1 解析：对于A，a，b为正实数，有>0，>0，且·＝1，又当且仅当a＝b时，＝成立，满足均值不等式的条件，A正确；
对于B，＋a≥2 ＝4，当a>3时，>0，且a·＝4，显然不存在大于3的正数a使a＝成立，所以＋a>4，B错误；
对于C，因为a<0，则<0，不符合均值不等式成立的条件，C错误；
对于D，x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，且·＝1，又当且仅当y＝－x≠0时，－＝－成立，满足均值不等式的条件，D正确．故选AD.
答案：AD
跟踪训练1 解析：取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A、B不正确；取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确；因为a，同号，|a＋|＝|a|＋||≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确．故选D.
答案：D
例2 解析：(1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2 ＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2 ＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
跟踪训练2 解析：(1)因为a>0，所以a＋＋1≥2 ＋1＝5.当且仅当a＝，即a＝2时等号成立．所以a＋＋1的最小值为5.故选D.
(2)因为x>0，所以3x＋≥2 ＝2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，所以3－3x－≤3－2，即y＝3－3x－的最大值为3－2.故选C.
答案：(1)D (2)C
例3 解析：设两个正数为a，b，
由题意ab＝36，则a＋b≥2＝12，当且仅当a＝b＝6时等号成立，即a＝b＝6时，它们的和最小，为12.
一题多变 解析：设两个正数为a，b，
由题意a＋b＝18，则ab≤＝81当且仅当a＝b＝9时等号成立，即a＝b＝9时，它们的积最大，为81.
跟踪训练3 解析：(1)由a，b为正实数，则a＋2b≥2＝2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立，故选D.
(2)xy＝＝×9＝，当且仅当，即时等号成立．故选A.
答案：(1)D (2)A
[随堂练习]
1．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．故选B.
答案：B
2．解析：A.当a<0时，a＋≤－4，故错误；B.因为a2＋b2≥2ab，故错误；C.由基本不等式得x2＋≥2，当且仅当x2＝时，取等号，故正确；D.当a＝1，b＝2时，<，故错误．故选C.
答案：C
3．解析：因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18.当且仅当m＝n＝9时等号成立，所以m＋n的最小值是18，故选B.
答案：B
4．解析：由基本不等式，得4x＋≥2 ＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，故＝3，得a＝36.
答案：36