人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品课后复习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值分别为( )


A．ymax＝3，x＝eq \f(π,2)


B．ymax＝1，x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)


C．ymax＝3，x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)


D．ymax＝3，x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)


[解析] ∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．


[答案] C


2．下列函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是增函数的是( )


A．y＝sinx B．y＝csx


C．y＝sin2x D．y＝cs2x


[解析] 因为y＝sinx与y＝csx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上都是减函数，所以排除A、B.因为eq \f(π,2)≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.故选D.


[答案] D


3．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的值域是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


[解析] 由0≤x≤eq \f(π,2)，得eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，


故－eq \f(1,2)≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).故选B.


[答案] B


4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))


[解析] 解法一：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，其单调递增区间为－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则－eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0)).


解法二：函数在eq \f(5π,6)取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－π，\f(5π,6)))，即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0)).


[答案] D


5．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))(x∈R)的最小值等于( )


A．－3 B．－2


C．－1 D．－eq \r(5)


[解析] ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝eq \f(π,2)，


∴y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，∴ymin＝－1.


[答案] C


二、填空题


6．cs770°________sin980°(填“>”或“<”)．


[解析] ∵cs770°＝cs(720°＋50°)＝cs50°＝sin40°，


sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(180°＋80°)


＝－sin80°

∴cs770°>sin980°.


[答案] >


7．函数y＝csx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．


[解析] ∵y＝csx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π

[答案] (－π，0]


8．设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，则A＝________，B＝________.


[解析] 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A－B＝\f(3,2),A＋B＝－\f(1,2).))


解得A＝eq \f(1,2)，B＝－1.


[答案] eq \f(1,2) －1


三、解答题


9．求函数y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的单调减区间．


[解] y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋1.


由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


解得4kπ－eq \f(π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(3,2)π(k∈Z)．


∴k＝0时 ，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))，


k＝1时，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)，\f(11π,2)))，


k＝－1时，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9π,2)，－\f(5π,2))).


又∵x∈[－4π，4π]，


∴函数y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4π，－\f(5π,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)，4π)).


10．求下列函数的最大值和最小值．


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；


(2)y＝－2cs2x＋2sinx＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).


[解] (1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，


2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由函数图象知，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，sin\f(π,2)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).


所以，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值分别为1，－eq \f(1,2).


(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3


＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2).


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq \f(1,2)≤sinx≤1.


当sinx＝1时，ymax＝5；


当sinx＝eq \f(1,2)时，ymin＝eq \f(5,2).


综合运用


11．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,4)，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,8)，2kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)


[解析] 周期T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，


∴y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(3,8)π≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z.


[答案] C


12．下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是( )


A．f(x)＝|cs2x| B．f(x)＝|sin2x|


C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|


[解析] 作出y＝sin|x|的图象如图1，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cs|x|＝csx，周期为2π，排除C；作出y＝|cs2x|的图象如图2，由图象知，其周期为eq \f(π,2)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增，A正确；作出y＝|sin2x|的图象如图3，由图象知，其周期为eq \f(π,2)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递减，排除B，故选A.





图1





图2





图3


[答案] A


13．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________．


[解析] ∵1

sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.


y＝sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上递增，且0<π－3<1<π－2

∴sin(π－3)

即sin3

[答案] sin3

14．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上的最大值是eq \r(2)，则ω＝________.


[解析] ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，即0≤x≤eq \f(π,3)，且0<ω<1，


∴0≤ωx≤eq \f(ωπ,3)

∴sineq \f(ωπ,3)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(ωπ,3)＝eq \f(π,4)，即ω＝eq \f(3,4).


[答案] eq \f(3,4)


15．已知函数f(x)＝2asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋b的定义域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，值域是[－5,1]，求a，b的值．


[解] 因为0≤x≤eq \f(π,2)，


所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，


所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1.


所以a>0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－5,3a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝－5.))


a<0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1,3a＋b＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2,b＝1.))


因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.