2023-2024学年甘肃省武威市凉州区南安九年制学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区南安九年制学校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列长度的3条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，4，8D．5，6，12
3．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2
4．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
5．如图，AB∥DE，点B，C，D在同一直线上，若∠BCE＝55°，∠E＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
6．若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则它的一个内角为（ ）
A．1080°B．720°C．140°D．135°
7．如图，直线l是五边形ABCDE的对称轴，其中∠C＝100°，∠ABC＝130°，那么∠BEA的度数等于（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
8．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
9．如图，过边长为a的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A．aB．aC．aD．不能确定
10．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝20，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE的长为（ ）
A．4B．8C．10D．12
二、填空题（共8题；共24分）
11．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于8，则它的周长为 ．
12．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
13．已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ °．
14．如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 ．
15．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝ ．
16．如图，若△ABC≌△DEF，AC＝4，AB＝3，EF＝5，则△ABC的周长为 ．
17．如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝ ．
18．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝6，则OE的最小值为 ．
三、作图题（共4分）
19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
四、解答题（共62分）
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是边AC上的高，AD，BE相交于点O，如果∠AOE＝70°，求∠ABE的度数．
21．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形是几边形．
22．如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．若∠A＝80°，求∠P的度数．
23．如图所示，DE⊥AB于E，DF⊥BC于D，∠AFD＝155°，∠A＝∠C，求∠EDF的度数．
24．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．
25．已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE＝AC，BE＝DC，求证：∠E＝∠C．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
27．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列长度的3条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，4，8D．5，6，12
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能够组成三角形，符合题意；
C、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
D、5+6＜12，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2
【分析】根据题意可得S△ABD＝S△BCD＝12，再根据BE＝2ED可得S△AED＝2S△AED即可解答．
解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积是24cm2，
∴S△ABD＝S△BCD＝12，
∵BE＝2ED，
∴S△AED＝2S△AED，
∵S△AED+S△AED＝S△ABD，
∴△AED的面积是4，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题关键．
4．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
5．如图，AB∥DE，点B，C，D在同一直线上，若∠BCE＝55°，∠E＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
【分析】根据三角形外角和内角的关系，可以得到∠D的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠D＝∠B，从而可以得到∠B的度数．
解：∵∠BCE＝55°，∠E＝25°，∠BCE＝∠E+∠D，
∴∠D＝∠BCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出∠D的度数．
6．若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则它的一个内角为（ ）
A．1080°B．720°C．140°D．135°
【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得n﹣3＝5，计算出n的值，再根据多边形内角和180°（n﹣2）可得内角和，易得一个内角的度数．
解：设多边形边数为n，由题意得：
n﹣3＝5，
n＝8，
内角和：180°×（8﹣2）＝1080°，
1080°÷8＝135°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，多边形内角和公式180°×（n﹣2）．
7．如图，直线l是五边形ABCDE的对称轴，其中∠C＝100°，∠ABC＝130°，那么∠BEA的度数等于（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
【分析】依据轴对称图形的性质可求得∠AED、∠D的度数，然后用五边形的内角和减去∠AED、∠ABC、∠C、∠D的度数，进而利用三角形内角和解答即可．
解：∵直线l是五边形ABCDE的对称轴，
∴∠ABC＝∠AED＝130°，∠C＝∠D＝100°，AB＝AE，
∴∠BAE＝540°﹣130°×2﹣100°×2＝80°．
∴∠BEA＝
故选：B．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70°B．110°C．120°D．130°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
9．如图，过边长为a的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A．aB．aC．aD．不能确定
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE+DC＝EF+FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度．
解：作PF∥BC交AC于点F，如图所示
则∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴ED＝AC，
∵AC＝a，
∴DE＝a．
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
10．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝20，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE的长为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【分析】求出CD的长度，然后根据角平分线的性质进行解答即可．
解：∵BC＝20，BD：CD＝3：2，
∴，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE为点D到线段AB的距离，
∴DE＝CD＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．
二、填空题（共8题；共24分）
11．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于8，则它的周长为 20 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＝8，所以不能构成三角形；
当腰为8时，8+8＞4，8﹣8＜4，所以能构成三角形，周长是：8+8+4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，可判断①；由△ACE≌△DCB，可得∠CAE＝∠CDB，由AC＝DC，可得∠CAD＝∠ADC，利用三角形内角和定理即可判断②；由AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，可得：AC＝BC＝DC＝EC，进而得出∠CAE＝∠CBD，再运用等腰三角形性质即可判断③；由全等三角形的性质可得S△ACE＝S△DCB，由三角形的面积公式可求CG＝CH，由角平分线的性质可得PC平分∠APB，可判断④，即可求解．
解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，
∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，
∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，
∴∠ACD+∠APB＝180°，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD+2∠ADC＝180°，
∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；
∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，
∴AC＝BC＝DC＝EC，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴PA＝PB，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积，角平分线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．
13．已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ 75°或35 °．
【分析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，结合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为钝角时，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．综上即可得出结论．
解：当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图1所示．
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠C＝∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．
当∠ABC为钝角时，如图2所示．
∵AB+BH＝CH，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABH＝35°．
故答案为：75°或35°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况考虑是解题的关键．
14．如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
15．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝ 225° ．
【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可．
解：连接AD，BC，
四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°，
∵∠DEA+∠EAD+∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，
∴∠EAD+∠ADE＝180°﹣105°＝75°，
∵∠CFB+∠FCB+∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，
∴∠FCB十∠FBC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DCF+∠ABF+∠EAB+∠EDC＝360°﹣（∠EAD+∠ADE）﹣（∠FCB+∠FBC）＝360°﹣75°﹣60°＝225°，
故答案为：225°．
【点评】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
16．如图，若△ABC≌△DEF，AC＝4，AB＝3，EF＝5，则△ABC的周长为 12 ．
【分析】根据全等三角形的性质进行解答即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝3，AC＝DF＝4，BC＝EF＝5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3+4+5＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等对应角相等是解本题的关键．
17．如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝ 5 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．
解：∵△ABC≌△BAD，BD＝5，
∴AC＝BD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
18．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝6，则OE的最小值为 6 ．
【分析】过O点作OH⊥BA于H点，如图，先根据角平分线的性质得到OH＝OD＝6，然后根据垂线段最短解决问题．
解：过O点作OH⊥BA于H点，如图，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OH⊥BA，
∴OH＝OD＝6，
∵点E为射线BA上一动点，
∴OE的最小值为OH的长，
即OE的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
三、作图题（共4分）
19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
解：如图：
点C即为所求作的点．
【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握垂直平分线和角平分线的性质，以及尺规作图的方法是解决问题的关键．
四、解答题（共62分）
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是边AC上的高，AD，BE相交于点O，如果∠AOE＝70°，求∠ABE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OAE的度数，再由AD是∠BAC的角平分线可得出∠OAB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEO＝90°．
在Rt△AOE中，
∵∠AOE＝70°，
∴∠OAE＝90°﹣70°＝20°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠OAB＝OAE＝20°，
∴∠BAC＝2∠OAB＝40°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．
21．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形是几边形．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形是7边形．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
22．如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．若∠A＝80°，求∠P的度数．
【分析】根据∠ACD是△ABC的外角，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，根据∠PCD是△BCP的外角，可得∠PCD＝∠PBC+∠P，再结合角平分线的定义可推导出：，即有：，即可得，问题得解．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴，，
∵∠PCD是△BCP的外角，
∴∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴，
∴，
∴，
∵∠A＝80°，
∴∠P＝40°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，掌握三角形的外角的性质是解答本题的关键．
23．如图所示，DE⊥AB于E，DF⊥BC于D，∠AFD＝155°，∠A＝∠C，求∠EDF的度数．
【分析】根据∠AFD的度数求出∠C的度数，继而得出∠A的度数，在四边形AEDF中，利用四边形内角和为360°，可得出∠EDF的度数．
解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝90°，∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝∠FDC+∠C＝155°，
∴∠C＝155°﹣∠FDC＝155°﹣90°＝65°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝65°，
∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD＝360°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣90°﹣155°＝50°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键是三角形外角的性质及等腰三角形性质的综合运用．
24．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．
【分析】利用AAS证明△ACE≌△ABF，即可解决问题．
【解答】证明：∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE＝BF，
∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF﹣∠EAF＝∠BAE﹣∠EAF，
∴∠CAE＝∠BAF，
在△ACE和△ABF中．
，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACE≌△ABF．
25．已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE＝AC，BE＝DC，求证：∠E＝∠C．
【分析】证明△ABC≌ADE（SAS），由全等三角形的性质得出∠C＝∠E．
【解答】证明：∵AE＝AC，BE＝DC，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌ADE（SAS），
∴∠C＝∠E．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌ADE是解题的关键，属于基础题．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和和角平分线的定义可以得到∠AEB的度数，进而求解∠DEC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB＝∠DEB，
∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
27．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 △ACD≌△EBD
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是 1＜x＜4 ．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝DE＝3，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，于是得到AM＝2AD由已知条件得到BD＝CD，根据全等三角形的性质得到BM＝CA，∠M＝∠CAD，于是得到∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB；
故答案为：△ADC≌△EDB；
（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，
，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ＝DE＝3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，
即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；
故答案为：1＜x＜4；
（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，
∴AM＝2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BMD与△CAD中，
，
∴△BMD≌△CAD，
∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，
∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，
∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ＝∠MBA，
∵QC＝BC，
∴QC＝AB，
在△ACQ与△MBA中，
，
∴△ACQ≌△MBA，
∴AQ＝AM＝2AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．