2023-2024学年甘肃省武威市凉州区洪祥九年制学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区洪祥九年制学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下绿色食品、节能、节水、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC/​/OB，PD⊥OB，若PC=4，则PD=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.如图，△ABC≌△DBE，∠C=45°，∠D=35°，∠ABD=40°，则∠ABE的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
4.如图，在△ABC中，AB=BC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF=2，则CF的长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.若n边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则n是( )
A. 5B. 7C. 8D. 9
6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF/​/AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF，其中正确的结论共有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
7.如图，已知AB=AC，不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A. ∠1=∠2
B. BD=CD
C. ∠B=∠C
D. 点B与点C关于AD所在的直线对称
8.若am=5，an=3，则am+n的值为( )
A. 8B. 11C. 15D. 45
9.下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. a2ab=abB. ab=a2ab
C. a+bb=aD. a2−9a2−6a+9=a−3a+3
10.一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是( )
A. 20mm−20小时B. 20mm+20小时C. m−2020m小时D. m+2020m小时
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在函数y=x+2x−1中，自变量x的取值范围是______．
12.化简a2ba2−ab⋅(ab−ba)的结果是______ ．
13.若a=b+2，则代数式a2−2ab+b2的值为 ．
14.如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC/​/DF，AC=DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件：______．
15.△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A= ______ °.
16.如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=70°，则∠BOC=______°.
17.如图，在△ABC中，∠C=70°，则∠1+∠2= ______ ．
18.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足点分别是D，E，AD=5，BE=2，则DE的长为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)a2x2−a2y2．
(2)4x2−1+x+21−x=−1．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：[(2x+3y)2−(2x+3y)(2x−3y)]÷3y，其中x=−2，y=13．
21.(本小题6分)
若a2=b3=c4≠0，求a+bc的值．
22.(本小题6分)
实数a在数轴上的位置如图，化简|a−2|+ a2−8a+16．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD，∠DEC=120°，试求∠BAD的度数．
24.(本小题8分)
若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17y2−16xy−4y+4=0，求△ABC的周长．
25.(本小题8分)
如图，AB=CD，AF=CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：
(1)△ABE≌△CDF．
(2)AD/​/BC．
26.(本小题8分)
甲乙两辆车分别从A，B两地同时开向学校，已知A地到学校的路程为300千米，B地到学校的路程为250千米，甲车的速度比乙车的速度快5千米/时，结果两辆车同时到达学校，求两车的速度？
27.(本小题10分)
如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB/​/CD，BF=CE，∠A=∠D．
(1)求证：AB=CD．
(2)若AB=CF，
①试判断△CDF的形状，并说明理由；
②若∠B=30°，求∠DFB的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：过P作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC/​/OB，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∵∠PEC=90°，
∴PE=12PC=12×4=2，
∴PD=2．
故选：A．
由角平分线的性质得到PD=PE，由平行线的性质推出∠PCE=∠AOB=30°，由直角三角形的性质求出PE=2，即可得到PD=2．
本题考查角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形，关键是由角平分线的性质得到PD=PE，由直角三角形的性质求出PE的长即可．
3.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠E=∠C=45°，
∵∠D=35°，
∴∠EBD=180°−∠D−∠E=100°，
∵∠ABD=40°，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=60°，
故选：A．
根据题意求出∠EBD=100°，利用角之间的关系计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠CAF=120°−30°=90°，
∴CF=2AF=2BF，
∵BF=2，
∴CF=4．
故选：B．
连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B=∠C=30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF=30°，即可求解∠FAC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解CF=2BF是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为(n−2)⋅180°，
依题意得：(n−2)⋅180°=360°×3−180°，
解得n=7．
故选：B．
根据n边形的内角和公式(n−2)⋅180°(n≥3且n为整数)，外角和等于360°列出方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的实际应用，多边形的内角和公式与外角和定理．注意多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵BF/​/AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=AB=3BF，故④正确．
∵BD=CD，
∴S△ADB=S△ACD，
∵AE=2BF，
∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误；
故选：B．
由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意和图，可知：AB=AC，AD=AD；
A、∠1=∠2，利用SAS可证△ABD≌△ACD，不符合题意；
B、BD=CD，利用SSS可证△ABD≌△ACD，不符合题意；
C、∠B=∠C，SSA不能证明△ABD≌△ACD，符合题意；
D、点B与点C关于AD所在的直线对称，可知BD=CD，利用SSS可证△ABD≌△ACD，不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
本题考查全等三角形的判定，轴对称的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵am=5，an=3，
∴am+n=am×an=5×3=15；
故选：C．
直接利用同底数幂的乘方运算法则将原式变形求出即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：A．a2ab=a2÷aab÷a=ab，故本选项符合题意；
B.当a=0时，不能推出ab=a2ab，故本选项不符合题意；
C.a+bb=ab+1≠a，故本选项不符合题意；
D.a2−9a2−6a+9=(a+3)(a−3)(a−3)2=a+3a−3，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键，注意：分式的分子和分母同乘(或除以)同一个不等于0的式子，分式的值不变．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了列代数式.依据工作量=工效×时间这个等量关系解答，如果没有工作总量，通常把工作总量看成1.设工作总量为1，甲乙合作20小时可以完成，那么甲乙合作的工效是120，甲单独做需m小时完成，甲的工效为1m，则乙的工效为：(120−1m)，由时间=工作量÷工效列式．
【解答】
解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是120，
甲单独做需m小时完成，甲的工效为1m，
则乙的工效为：(120−1m)，
乙单独完成需要的时间是1÷(120−1m)=1÷m−2020m=20mm−20小时．
故选：A．
11.【答案】x≠1
【解析】解：∵x−1≠0，
∴x≠1，
故答案为x≠1．
根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．
12.【答案】a+b
【解析】解：原式=a2ba(a−b)⋅a2−b2ab
=a2ba(a−b)⋅(a+b)(a−b)ab
=a+b．
故答案为：a+b．
将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的乘法即可．
本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
由a=b+2，可得a−b=2，代入所求代数式求值即可．
【解答】
解：∵a=b+2，
∴a−b=2，
∴a2−2ab+b2=(a−b)2=22=4．
故答案为：4
14.【答案】AB=EF
【解析】解：补充条件：AB=EF．
∵AC/​/DF，
∴∠A=∠F．
在△ABC和△FED中，
BA=EF∠A=∠FAC=DF，
∴△ABC≌△FED(SAS)．
故答案为：AB=EF．
根据平行线的性质，由AC/​/DF，得∠A=∠F，从而解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、平行线的性质是解决本题的关键．
15.【答案】20°或100°
【解析】解：设∠B的角平分线交AC于点E，
当∠BEC=60°时，如图1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴14(180°−∠A)+∠A=60°，
∴∠A=20°；
当∠AEB=60°时，如图2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)，
∴∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，
∵∠ABE+∠A+∠BEC=180°，
∴14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，
∴∠A=100°，
综上所述，∠A的度数为20°或100°．
根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到∠ABE=12∠ABC=14(180°−∠A)，当∠BEC=60°时，根据三角形外角的性质得到14(180°−∠A)+∠A=60°，即可求得∠A=20°；当∠AEB=60°时，根据三角形内角和定理得到14(180°−∠A)+∠A+60°=180°，即可求得∠A=100°．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．
16.【答案】125
【解析】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°．
故答案为：125．
根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
17.【答案】250°
【解析】解：在△ABC中，∠C=70°，
∴∠B+∠A=180°−∠C=180°−70°=110°，
∴∠1+∠2=360°−(∠A+∠B)=360°−110°=250°．
故答案为：250°．
首先求得∠B+∠A，然后利用四边形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和，牢记定理是关键．
18.【答案】3
【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC，
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE=DC=2，CE=AD=5．
∴DE=EC−CD=5−2=3．
故答案为：3．
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)原式=a2(x2−y2)
=a2(x+y)(x−y)；
(2)方程两边同乘(x+1)(x−1)，得
4−(x+2)(x+1)=−(x+1)(x−1)，
整理，得
4−x2−3x−2=−x2+1，
移项，合并同类项得
−3x=−1，
系数化1，得
x=13，
经检验，x=13是原分式方程的解．
【解析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先去分母化为整式方程，解出x的值，再检验即可．
本题考查因式分解的方法以及解分式方程，解题的关键是掌握因式分解及将分式方程化为整式方程的方法，注意要验根．
20.【答案】解：原式=(4x2+12xy+9y2−4x2+9y2)×13y
=4x+6y，
将x=−2，y=13，代入4x+6y=4×(−2)+6×13=−6．
【解析】先利用整式的混合运算法则化简，再将x=−2，y=13代入即可求解．
本题考查了代数式化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：设a2=b3=c4=k，
∴a=2k，b=3k，c=4k，
∴a+bc=2k+3k4k=54．
【解析】利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
22.【答案】解：由数轴可得出：2∴|a−2|+ a2−8a+16=a−2+ (a−4)2=a−2+4−a=2．
【解析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质进行开平方得出是解题关键．首先利用数轴得出a的取值范围，进而去绝对值以及开平方即可．
23.【答案】解：∵∠DEC=120°，
∴∠AED=180°−120°=60°，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∴∠DAE=60°，
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD=∠EAD=60°．
【解析】由∠DEC=120°可得∠AED=180°−120°=60°，由AE=AD可得∠AED=∠ADE=60°，从而得出∠DAE=60°，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠EAD=60°．
本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
24.【答案】解：∵4x2+17y2−16xy−4y+4=0，
∴4x2−16xy+16y2+y2−4y+4=0，
则(2x−4y)2+(y−2)2=0，
∴2x−4y=0，y−2=0，
解得：x=4，y=2．
当2为腰，4为底时，△ABC不存在；
当4为腰，2为底时，△ABC的周长=2×4+2=10．
【解析】先将等式的左边分组因式分解，然后根据偶次方的非负性求出x、y，然后再根据等腰三角形的定义即可解答．
本题主要考查了因式分解的应用、偶次方的非负性以及等腰三角形的定义等知识点，通过因式分解求出x、y的值是解答本题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵AF=CE，
∴AE=CF，
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴直角△ABE和直角△CDF中，AB=CDAE=CF，
∴△ABE≌△CDF；
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴在△ADF和△CBE中，AF=CE∠BEC=∠DFABE=DF，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DAF=∠BCE，
∴AD/​/BC．
【解析】(1)首先证明AE=CF，然后根据HL即可证得；
(2)首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的对应角相等，即可证明∠DAF=∠BCE，根据平行线的性质证明．
本题考查了全等三角新的判定与性质，证明角相等常用的方法是转化为证明三角形全等．
26.【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，甲的速度是(x+5)千米/时，
依题意可得：300x+5=250x，
解：x=25，
经检验：x=25是方程的解，且符合题意，
则甲的速度是30千米/时，
答：甲的速度是30千米/时，乙车的速度为25千米/时．
【解析】设乙的速度是x千米/时，那么甲的速度是(x+5)千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是正确的列出方程．
27.【答案】(1)证明∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
∵∠A=∠D，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD；
(2)解：①△CDF是等腰三角形，
理由：
∵△ABE≌△DCF，
∴AB=CD，
∵AB=CF，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰三角形；
②∵AB/​/CD，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∵△CDF是等腰三角形，
∴∠D=∠CFD=12×(180°−30°)=75°．
∴∠DFB=∠D+∠C=75°+30°=105°．
【解析】(1)根据AB//CD可证明∠B=∠C，根据BF=CE可证明BE=CF，再依据AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论；
(2)①证明CD=CF即可得出结论；
②由平行线的性质得出∠C=30°，再根据△CDF是等腰三角形求底角的度数即可解答．
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．