2023-2024学年甘肃省武威市凉州区五和九年制学校联片教研八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区五和九年制学校联片教研八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 12x−1中字母x的取值范围是( )
A. x≥2B. x>2C. x≥12D. x>12
2.二次根式 x+3有意义时，x的取值范围是( )
A. x≥−3B. x>−3C. x≤−3D. x≠−3
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 2− 2=1
C. 2×2 2=3 2D. 8÷ 2=2
4.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为( )
A. − 5
B. 1− 5
C. −1+ 5
D. −1− 5
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交边BC于点D，若AC= 3，则线段BD的长为( )
A. 52
B. 1
C. 2
D. 3
6.在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，则BC=( )
A. 3B. 1C. 41D. 41或3
7.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°.则∠FEG的度数为( )
A. 18°
B. 23°
C. 31°
D. 33°
8.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m/​/n.则下列说法正确的是( )
A. AC=BPB. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积D. △ABC的面积等于△PBC的面积
9.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6.若∠B=45°，则▱ABCD的面积为( )
A. 6 2B. 12C. 12 2D. 24
10.如图，△ABC的面积为24，点D为边AC上的一点，连结BD并延长，交BC的平行线AG于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作▱DECF，DF交边BC于点H，连结AH.当AD=12CD时，△AHC的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如果 (x−6)(3−x)= x−3⋅ 6−x，则x的取值范围是______．
12.若代数式 x+3+(x−2)0在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
13.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为______．
14.如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长均为△ABC的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则△ABC的边AC上的高为______．
15.如图，在▱ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为______．
16.如图，在▱ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是______(填一个即可)．
17.如图，在▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①AF=CF；②AE=CF；③∠BEA=∠FCE.若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是______(填写相应序号)．
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D，E分别为BC，AC上的中点，连接AD，BE，分别取AD，BE，AB的中点M，N，P，顺次连接M，N，P，则△MNP的周长为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1) (−2)2+ 5÷ 10− 13× 6；
(2)( 3+2)( 3−2)− 12× 12+ 6．
20.(本小题5分)
在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC满足如下条件.(仅用直尺作图)
(1)在网格①中作一个等腰三角形ABC；
(2)在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．
21.(本小题6分)
已知a满足b2−10b+25+ a−1=0．
(1)求a，b的值；
(2)如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简|5−2c|− c2−14c+49．
22.(本小题7分)
先化简再求值：已知a=1 5−2，b=1 5+2，求 a2+b2−2．
23.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．
(1)求证：MA平分∠BMD；
(2)若AC//DM，AB=12，BM=18，求BC的长．
24.(本小题8分)
如图，在△ACD中，点B在边CD上，连接AB，已知AB=10，AC=8，BC=6，AD+BD=26．
(1)求证：∠C=90°；
(2)求AD和BD的长．
25.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，延长DA至点E，延长BC至点F，使得AE=CF，
连接EF，与对角线BD交于点O，求证：OE=OF．
26.(本小题8分)
已知，如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB、AD的延长线于点E、F，连接CF、AE，求证：四边形AECF为平行四边形．
27.(本小题10分)
如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF/​/DE交AB于点F．
(1)若点D是BC边的中点(如图①)，求证：EF=CD；
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 12x−1有意义，
∴2x−1>0，解得x>12．
故选：D．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：依题意得x+3≥0，
解得x≥−3．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、2 2− 2= 2，原计算错误，不符合题意；
C、 2×2 2=4，原计算错误，不符合题意；
D、 8÷ 2= 4=2，正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：1− 12+(3−1)2=1− 5，
故选：B．
点A处所表示的数为1− 12+(3−1)2，化简可得．
本题考查了实数与数轴，观察图中点A处所表示的数为1− 12+(3−1)2是本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，
∴BD=AD，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC= 3，
∴BD=AD=2，
故选：C．
根据角平分线的定义结合直角三角形两锐角互余得出∠BAD=∠CAD=∠B=30°，再根据含特殊角的三角函数求解即可．
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30°角的三角函数，熟记含特殊角的三角函数值是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：当5为直角边时，
BC= 52+42= 41，
当5为斜边时，
BC= 52−42=3，
综上所述，BC的长为 41或3．
故选：D．
分5是直角边和5是斜边两种情况进行分类讨论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并根据题意进行分类讨论是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC和△ADC两个三角形的中位线，
∴EG/​/BC，FG/​/AD，EG=12BC，FG=12AD，
∵AD=BC，
∴EG=FG，
∵EG/​/BC，FG/​/AD，
∴∠FGC=∠DAC=20°，∠EGC=180°−∠ACB=114°，
∴∠EGF=∠FGC+∠EGC=134°，
∵EG=FG，
∴∠FEG=12×(180°−134°)=23°．
故选：B．
根据三角形中位线定理得到EG=FG，根据平行线的性质得到∠FGC=∠DAC=20°，∠EGC=180°−∠ACB=114°，求出∠EGF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m/​/n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选：D．
根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离及三角形的面积，属于基础题，关键是掌握平行线之间的距离相等．
9.【答案】C
【解析】解：作AM⊥CD于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=45°，AD=BC=6，CD=AB=4，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM= 22AB=2 2，
∴▱ABCD的面积=BC×AM=6×2 2=12 2，
故选：C．
作AM⊥CD于M，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=45°，AD=BC=4，CD=AB=6，得出△ABM是等腰直角三角形，由勾股定理求出AM= 22AB，即可得出▱ABCD的面积．
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出AM是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接EH，
∵△ABC的面积为24，AD=12CD，
∴S△BDC=16，
∵AE//BC，
∴S△ABC=S△BCE=24，S△AHC=S△EHC，
∴S△CDE=8，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DF//EC，
∴S△EHC=S△DEC=8=S△AHC，
故选：C．
由面积的和差关系可求S△CDE=8，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出S△CDE=8是解题的关键．
11.【答案】3≤x≤6
【解析】解：∵ (x−6)(3−x)= x−3⋅ 6−x，
∴x−3≥06−x≥0，
解得3≤x≤6，
故答案为：3≤x≤6．
结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
本题考查了二次根式、一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
12.【答案】x≥−3且x≠2
【解析】解：由题意得：x+3≥0，且x−2≠0，
解得：x≥−3且x≠2．
故答案为：x≥−3且x≠2．
根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，根据零次幂底数不为零可得x−1≠0，再解即可．
此题主要考查了二次根式和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；a0=1(a≠0)．
13.【答案】245
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=CH=12BC=3，
∴AH= AB2−BH2= 52−32=4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD的值最小，
∴12AB⋅CD=12BC⋅AH，
∴5CD=6×4，
∴CD=245，
故答案为：245．
先利用等腰三角形三线合一的性质求出BH=3，再利用勾股定理求出AH=4，然后利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
14.【答案】4 1313
【解析】解：由勾股定理得：AC= 22+32= 13，
设△ABC的边AC上的高为h，
则S△ABC=12AC⋅h=12BC×2，
∴AC⋅h=2×2=4，
解得：h=4 13=4 1313，
即△ABC的边AC上的高为4 1313，
故答案为：4 1313．
由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出h即可．
本题考查的是勾股定理以及三角形面积等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故答案为：10．
由平行四边形的性质得出DC=AB=4，AD=BC=6，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16.【答案】BE=DF(答案不唯一)
【解析】解：添加BE=DF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC．
∴AF/​/EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC．
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE=CF，
故答案为：BE=DF(答案不唯一)．
根据平行四边形的性质：对边相等，从而可以得到四边形AFCE是平行四边形，从而确定结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是同学们熟练掌握判定方法．
17.【答案】③
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，∠B=∠D，AD//BC，AD=BC，
如果AF=CF，
则无法证明四边形AFCE是平行四边形，
故①不合题意；
如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=FN，
∵AE=CF，
∴△AME≌△FNC(HL)
∴∠AEM=∠FCN，
∴AE/​/FC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，
故②不符合题意；
如果∠BEA=∠FCE，
则AE/​/CF，
∵AF/​/CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故③符合题意；
故答案为：③．
由平行四边形的判定依次判断，即可求解．
此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
18.【答案】6
【解析】解：∵D，E分别为BC，AC上的中点，
∴AE=12AC=4,BD=12CB=3，
∵M，N，P是AD，BE，AB的中点，
∴PM//BD，PM=12BD=32，PN/​/AC，PN=12AE=2，
∴∠APM=∠ABC，∠BPN=∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∴∠MPN=90°，
∴MN= PM2+PN2=52，
∴△MNP的周长为2+32+52=6，
故答案为：6．
根据线段中点的定义得到AE=12AC=4,BD=12CB=3，根据三角形中位线定理得到PM//BD，PM=12BD=32，PN/​/AC，PN=12AE=2，根据平行线的性质得到∠APM=∠ABC，∠BPN=∠BAC，求得∠MPN=90°，根据勾股定理得到MN= PM2+PN2=52，于是得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1) (−2)2+ 5÷ 10− 13× 6
=2+ 510− 13×6
=2+ 12− 2
=2+ 22− 2
=2− 22；
(2)( 3+2)( 3−2)− 12× 12+ 6
=3−4− 12×12+ 6
=−1− 6+ 6
=−1．
【解析】(1)先算乘除，再算加减即可；
(2)先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键，
20.【答案】解：(1)∵ 32+42=5，AB=5，
∴作AC=5，或BC=5，
△ABC如图1所示：

(2)∵ 12+22= 5， 22+42=2 5，
( 5)2+(2 5)2=5+20=25=AB2，
∴画出△ABC和△ABC1是直角三角形，
如图2所示．

【解析】(1)由勾股定理得出 32+42=5=AB，作AC=5，或BC=5，画出图形即可；
(2)由勾股定理得出12+22=5，22+42=20，5+20=25=AB2，由勾股定理的逆定理得出直角三角形，画出图形即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算与作图是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵b2−10b+25+ a−1=0，
∴(b−5)2+ a−1=0，
∴b−5=0, a−1=0，
∴b=5，a=1；
(2)∵a、b、c为三角形的三边长，
∴4∴5−2c<0，c−7<0，
|5−2c|− c2−14c+49
=2c−5− (c−7)2
=2c−5−|c−7|
=2c−5+c−7
=3c−12．
【解析】(1)根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可；
(2)利用三角形的三边关系化简即可．
本题考查了非负数的性质及三角形的三边关系，熟知任意一个数的绝对值或偶次方都是非负数以及三角形三边关系是解答此题的关键．
22.【答案】解：∵a=1 5−2= 5+2，b=1 5+2= 5−2，
∴a+b=2 5，ab=1，
∴ a2+b2−2= (a+b)2−2ab−2= (2 5)2−2×1−2= 16=4．
【解析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式 (a+b)2−2ab−2，然后利用整体的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
23.【答案】(1)证明：如图，连接AM，

在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，
∴AB=AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
(2)解：∵AC//DM，
∴∠CAM=∠AMD，
∴∠AMB=∠CAM，
∴CM=AC，
设BC=x，
∴CM=AC=18−x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴122+x2=(18−x)2，
∴x=5．
∴BC=5．
【解析】(1)连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，可得AB=AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
(2)证明CM=AC，设BC=x，所以CM=AC=18−x，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
24.【答案】(1)证明：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AC2+BC2=82+62=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
(2)解：设AD=x，则BD=26−x，
∴CD=BC+BD=6+26−x=32−x．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD2，
即82+(32−x)2=x2，
解得x=17，
则26−x=26−17=9，
故AD的长为17，BD的长为9．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可证得结论．
(2)设AD=x，在Rt△ACD中，由勾股定理求出x，即可求出答案．
本题主要考查了勾股定理和逆定理，根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA//BC，DA=BC，
∵AE=CF，
∴DA+AE=BC+CF，
即DE=BF，
∵DA//BC，
∴DE/​/BF，
∴∠E=∠F，∠EDO=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∠E=∠FDE=BF∠EDO=∠FBO，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，
∴OE=OF．
【解析】由平行四边形的性质得出DA/​/BC，DA=BC，证出DE=BF，∠E=∠F，∠EDO=∠OCFFBO，由ASA证明△EOD≌△FOB，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
26.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，BC/​/AD，
∴∠CEO=∠AFO，
在△CEO与△AFO中，
∠CEO=∠AFO∠COE=∠AOFOC=OA，
∴△CEO≌△AFO(AAS)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性质和AAS证明△CEO与△AFO全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD=12∠BAC=30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠EDB=90°−∠ADE=90°−60°=30°，
∵ED//CF，
∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠ACB−∠FCB=30°，
∴∠ACF=∠BAD=30°，
在△ABD和△CAF中，
∠BAD=∠ACFAB=CA∠FAC=∠B，
∴△ABD≌△CAF(ASA)，
∴AD=CF，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED//CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=CD．
(2)解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；
(3)解：成立．
理由如下：∵ED/​/FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA，
在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC∠B=∠FACAB=CA
∴△ABD≌△CAF(AAS)，
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED//CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=DC．
【解析】(1)根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED/​/CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
(3)根据ED/​/FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．
此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．