2023-2024学年甘肃省武威市凉州区西营九年制学校教研联片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区西营九年制学校教研联片八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 x−1中，x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1C. x>−1D. x≥−1
2.下列计算错误的是( )
A. 4 3+2 3=6 3B. 4 3−2 3=2 3
C. 4 3÷2 3=2D. 4 3×2 3=8 3
3.若3− 2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+ 2a)⋅b的值为( )
A. 2B. 0C. 1D. −2
4.如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则h的取值范围是( )
A. ℎ≤17cmB. ℎ≥8cm
C. 15cm≤ℎ≤16cmD. 7cm≤ℎ≤16cm
5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处.若AB=9，AD=12，则ED的长为( )
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6
6.如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A. DE=DF
B. EF=12AB
C. S△ABD=S△ACD
D. AD平分∠BAC
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，连接CE，若EA=EC，点M为BC的中点，AB=2，则AE的值为( )
A. 33
B. 2 33
C. 22
D. 2
8.如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E.连接EC，若CE=CD，则△CDE的面积是( )
A. 18
B. 4 13
C. 14.4
D. 6 3
9.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠ACD=( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
10.有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形(如图1)，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为( )
A. kB. k+1C. k2D. (k+1)2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若 1−3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.若a= 2+1，b= 2−1时，则ab的值是______．
13.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为______．
14.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，则四边形ABCD的面积是______．
15.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3 5，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．
16.如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为______．
17.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边DC于E，若∠DAE=30°，则∠B= ______°.
18.在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N(如图).在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1) 12− 18× 32；
(2)(4 2−3 6)÷2 2．
20.(本小题4分)
已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图(保留作图痕迹，不写做法)．

(1)如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP=CQ；
(2)如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP=DQ．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(a−1+2a+1)÷(a2+1)，其中a= 5−1．
22.(本小题6分)
在等腰△ABC中，三边长分别是a，b，c，并且满足a2−10a+25+ (b−3)2=0，求△ABC的周长．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3，
BD=5，求BE的长．
24.(本小题6分)
如图，已知正方形ABCD中，AB=2，AC为对角线，AE平分∠DAC，EF⊥AC，垂足为F.求FC的长．
25.(本小题7分)
如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AC为对角线，DE⊥AC于E，AB=8，BC=6，CD=2 15，AD=2 10．
(1)求证：∠ADC=90°；
(2)求线段DE的长．
26.(本小题7分)
如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，并且AF=CE．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
27.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点M、N分别是对角线BD上的两点，且BM=DN，连接AN，CM.求证：∠ANM=∠CMN．
28.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】
解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：A、4 3+2 3=6 3，故该选项不符合题意；
B、4 3−2 3=2 3，故该选项不符合题意；
C、4 3÷2 3=2，故该选项不符合题意；
D、4 3×2 3=24，故该选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵1< 2<2，
∴−1>− 2>−2，
∴2>3− 2>1，
∴3− 2的整数部分为a=1，小数部分为b=3− 2−1=2− 2，
∴(2+ 2a)⋅b
=(2+ 2×1)⋅(2− 2)
=(2+ 2)⋅(2− 2)
=4−2
=2，
故选：A．
先运用算术平方根的知识估算出a，b的值，再代入求解．
此题考查了估算无理数大小的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4.【答案】D
【解析】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h最大=24−8=16(cm)，
如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，
∴AB= AD2+BD2= 152+82=17(cm)，
∴此时h最小=24−17=7(cm)，
∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h的取值范围．
本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，
∴CD=9，∠D=90°
∴AC= 92+122=15，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=9，DE=D′E，
设DE=x，则D′E=x，AD′=15−9=6，AE=12−x，
在Rt△AED′中：AE2=AD′2+D′E2，(12−x)2=62+x2，
解得：x=4.5，
故选：B．
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设DE=x，则D′E=x，AD′=6，AE=12−x，再根据勾股定理可得方程(12−x)2=62+x2，再解方程即可．
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，矩形的性质，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，
∴DE=12AC，DF=12AB，
∵AC≠AB，
∴DE≠DF，故该选项错误；
B、由A选项的思路可知，B选项错误；
C、∵S△ABD=12BD⋅h，S△ACD=12CD⋅h，BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；
D、∵BD=CD，AB≠AC，
∴AD不平分∠BAC，
故选C．
根据三角形中位线定理逐项分析即可．
本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7.【答案】B
【解析】解：连接AC，交BD于点O，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90∘，
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△AMB和△AMC中，
∵AM=AM∠AMB=∠AMCBM=CM
∴△AMB≌△AMC(SAS)，
∴AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2，
∴OA=OC=1，
在△AOE和△COE中，
∵AE=CEAO=COEO=EO．
∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠AOE=∠COE=90∘，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴∠BAM=∠CAM=30∘，
设OE=x，则AE=2x，
由勾股定理得AE2=OE2+AO2，即
(2x)2=x2+12，
解得x= 33，
∴AE=2x=2 33，
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
连接AC，交BD于点O，先证明△AMB≌△AMC(SAS)，再由全等三角形的性质和平行四边形的性质证明
△AOE≌△COE(SSS)，继而得出平行四边形ABCD是菱形，△ABC是等边三角形，即可得出∠BAM=∠CAM=30∘，根据直角三角形的性质设OE=x，则AE=2x，根据勾股定理计算即可求解．
8.【答案】C
【解析】解：作CF⊥ED于点F，如右图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠CDA=90°，
∴∠ADE+∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，CD=CE，
∴EF=DF=12DE，∠CFD=90°，
∴∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠AED=∠DFC∠ADE=∠DCFAD=DC，
∴△ADE≌△DCF(AAS)，
∴DE=CF，
∴DF=12CF，
∵∠CFD=90°，CD=6，
∴DF2+CF2=CD2，
即DF2+(2DF)2=62，
解得DF2=7.2，
∴S△CDE=CE⋅CF2=2DF⋅2DF2=2DF2=2×7.2=14.4，
故选：C．
根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=12AB，
∴∠A=∠ACD=20°，
故选：B．
利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=12AB，然后利用等腰三角形的性质即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1
所有正方形的面积之和为2=(1+1)×1；
正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，
=正方形A的面积+正方形B的面积
=正方形C的面积
=1，
所有正方形的面积之和为3=(2+1)×1，
…
推而广之，“生长”了k次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(k+1)×1=k+1．
故选：B．
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于2；依此类推，经过k次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(k+1)倍，进而得问题答案．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
11.【答案】x≤13
【解析】解：根据题意得：1−3x≥0，
解得：x≤13．
故答案是：x≤13．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】1
【解析】解：∵a= 2+1，b= 2−1，
∴ab=( 2+1)( 2−1)=2−1=1．
故答案为：1．
把a与b代入ab中，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.【答案】35 5
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理和面积法的应用，求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键．
求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
【解答】
解：如图，四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是12×1×2=1．
△BCE的面积是：12×1×1=12．
则△ABC的面积是：4−1−1−12=32．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC= 22+12= 5．
设AC边上的高线长是x.则12AC⋅x= 52x=32，
解得：x=35 5．
14.【答案】36
【解析】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
根据勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36．
故四边形ABCD的面积是36．
故答案为：36．
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
15.【答案】2 10
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，构建全等三角形并利用方程思想是解答此题的关键．
首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD，接着利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△DCG和△GCF≌△ECF，然后利用勾股定理可得BE=3，设AF=x并利用GF=EF解得x，最后利用勾股定理可得CF．
【解答】
解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
CB=CD∠CBE=∠CDGBE=DG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∵∠ECF=45°，
∴∠DCF+∠BCE=45°，
∴∠GCF=∠DCG+∠DCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
GC=EC∠GCF=∠ECFCF=CF，
∴△GCF≌△ECF(SAS)，
∴GF=EF，
∵CE=3 5，CB=6，
∴BE= CE2−CB2= (3 5)2−62=3，
∴DG=BE=3，AE=AB−BE=3，
设AF=x，则DF=6−x，GF=3+(6−x)=9−x，
∴EF=GF=9−x，
∵EF= AE2+x2= 9+x2，
∴(9−x)2=9+x2，
∴x=4，
即AF=4，
∴DF=2，
∴CF= CD2+DF2= 62+22=2 10，
故答案为：2 10．
16.【答案】2cm
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE/​/BC，AD=BC=8cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=6cm，
∴DE=AD−AE=8−6=2(cm)；
故答案为：2cm．
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE/​/BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．
17.【答案】120
【解析】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，
∴∠DAB=2∠DAE=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=120°．
故答案为120
首先根据角平分线的性质可得∠DAB=2∠DAE，再根据平行四边形对边平行，对角相等可得∠C、∠B的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质等知识，关键是掌握平行四边形对边平行．
18.【答案】6
【解析】解：∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°−∠AOM，∠CON=90°−45°−∠AOM=45°−∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°−90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中，
∠EOA=∠CONOA=OC∠OAE=∠OCN，
∴△OAE≌△OCN(ASA)．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
OE=ON∠EOM=∠MONOM=ON，
∴△OME≌△OMN(SAS)．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴△MBN的周长为：MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6．
故答案是：6．
通过证△OAE≌△OCN(ASA)和△OME≌△OMN(SAS)，把△MBN的各边整理成与正方形的边长有关的式子即可．
此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．
19.【答案】解：(1) 12− 18× 32
=2 3−3 2× 3 2
=2 3−3 3
=− 3；
(2)(4 2−3 6)÷2 2
=4 2÷2 2−3 6÷2 2
=2−3 32．
【解析】(1)先化简再计算即可；
(2)把括号里的每一项都除以2 2，再化简即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点Q即为所求作．
(2)如图，点Q即为所求作．

【解析】(1)连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求作．
(2)连接AC交BD于点O，作在AP交BC于点E，作直线OE交AD于点F，连接CF交BD于点Q，点Q即为所求作．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(a−1+2a+1)÷(a2+1)
=(a2−1a+1+2a+1)÷(a2+1)
=a2+1a+1×1a2+1
=1a+1，
.当a= 5−1时，
原式= 55．
【解析】先将分式化简，然后代入求解即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
22.【答案】解：∵a2−10a+25+ (b−3)2=0，
∴(a−5)2+|b−3|=0，
又∵(a−5)2≥0，|b−3|≥0，
∴a−5=0，b−3=0，
∴a=5，b=3，
又∵a，b，c分别是等腰△ABC的边，
①当a=c=5时，5+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=5+2+5=12，
②当b=c=3时，3+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=3+2+3=8，
综上分析可知，△ABC的周长是12或8．
【解析】先利用非负数的性质求解a，b的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
23.【答案】解：∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3，
∵BD=5，
∴BE= BD2−DE2= 52−32=4．
【解析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=3，再由勾股定理求得BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
24.【答案】解：∵正方形ABCD中，AB=2，AC为对角线，
∴AB=BC=AD=2，
∴AC= AB2+BC2=2 2，
∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，ED⊥AD，
∴EF=ED，
∵EA=EA，
∴Rt△EAF≌Rt△EAD(HL)，
∴AF=AD=2，
∴FC=AC−AF=2 2−2．
【解析】利用正方形的性质求出AC= AB2+BC2=2 2，再根据角平分线的性质可得EF=ED，进而可证明AF=AD=2即可解答．
本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明AF=AD=2，是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：在直角△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= AB2+BC2= 82+62=10．
∵CD=2 15，AD=2 10，
∴CD2+AD2=(2 15)2+(2 10)2=60+40=100=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°．
(2)解：∵S△ACD=12AC⋅DE=12AD⋅DC，
∴DE=AD⋅CDAC=2 10⋅2 1510=2 6．
【解析】(1)由勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
(2)利用等面积法即可求解．
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键．
26.【答案】证明：如图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AF=CE，
∴AF−OA=CE−OC，
即OF=OE，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OF=OE，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
27.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵BM=DN，
∴BN=DM，
在△ABN与△CDM中，
AB=CD∠ABN=∠CDMBN=DM，
∴△ABN≌△CDM(SAS)，
∴∠ANB=∠CMD，
∴∠ANM=∠CMN．
【解析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，进而利用SAS证明△ABN与△CDM全等解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD解答．
28.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠性质可得：
∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=MF，
(2)∵点E是边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，
∴AB/​/CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=8，
∴∠F=∠BAF，
在△AEB和△FEC中，
∠AEB=∠FEC∠F=∠BAFBE=EC,
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=CF=6，
设CM=x，
∴AM=MF=x+6，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+6)2=82+(6−x)2，
解得：x=83，
∴CM的长为83；
(3)当CF=4时，设CM=x，应分为两种情况：
第一种情况，如图，点E在线段BC上，
∴AM=MF=x+4，DM=6−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+4)2=82+(6−x)2，
解得：x=215，
∴CM的长为215；
第二种情况，如图，点E在线段BC的延长线上，
∴AM=MF=x−4，DM=x−6，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x−4)2=82+(x−6)2，
解得：x=21，
∴CM的长为21；
综上，当CF=4时，CM的长为215或21．
【解析】(1)由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解；
(2)利用矩形的性质可得△AEB≌△FEC，利用全等三角形的性质可得AB=CF=6，设CM=x，由(1)可得AM=MF=x+6，DM=6−x，再利用勾股定理即可求解；
(3)当CF=4时，设CM=x，分为两种情况：第一种情况，点E在线段BC上，AM=MF=x+4，DM=6−x，第二种情况，点E在线段BC的延长线上，AM=MF=x−4，DM=x−6，利用勾股定理即可求解．
本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键．