初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品当堂检测题

这是一份初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品当堂检测题，共27页。试卷主要包含了已知，则下列比例式成立的是，如图，，，则的值是等内容，欢迎下载使用。

第4章 相似三角形（B卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．已知，则下列比例式成立的是(     )
A． B． C． D．
2．如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（　　）

A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
3．如图，若，则下面比例式不能成立的是（    ）

A． B． C． D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与ΔABC相似的是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（　　）

A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有(    )

A．1个 B．2 C．3个 D．4个
7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
8．如图，，，则的值是（    ）

A． B． C． D．
9．如图是一块三角形钢材ABC，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（    ）

A．16 B．24 C．30 D．36
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E是BC的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，下列结论：①AE⊥BD；②；③；④．则正确的有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

评卷人
得分



二、填空题
11．比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为 km．
12．如图，点、分别在、上，且，若，，，则的长为 ．

13．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．

14．如图，在中， ， CD是斜边AB上的高.下列结论①CD2=AD·BD ②AC2=AD·AB ③BC2=AB·BD④BD2=AC·BC不正确的是

15．如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点、交于点；作，交于点，若的面积为18，则的面积为 ．

16．中，，，是上的一点，且，设是某边上的一点，如果截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是，则的长为 ．

评卷人
得分



三、解答题
17．如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明：

(1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点；
(2)证明点是线段的黄金分割点．
18．如图所示，在中，，，，．求的长．

19．如图，已知是的直径，弦，垂足为．

(1)求证：；
(2)若过的直线与弦（不含端点）相交于点，与相交于点，求证：．
20．“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得米，米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．

21．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与相似．

(1)在图甲中画△，使得△的周长是的周长的2倍；
(2)在图乙中画出△，使得△的面积是的面积的2倍．
22．如图，为一块铁板余料，，，，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．

23．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．

(1)观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
(2)当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程；
(3)将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与、不重合），折痕为，当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程．

参考答案：
1．B
【详解】A、等式的左边除以4，右边除以9，故A错误；
B、等式的两边都除以6，故B正确；
C、等式的左边除以2b，右边除以，故C错误；
D、等式的左边除以4，右边除以b2，故D错误；
故选B．
2．B
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【详解】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE=AB=2a=（﹣1）a．
故选B．
【点睛】考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
3．A
【分析】根据证得，利用相似三角形的性质，对应线段成比例即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，故B，C，D均正确，而，
∴选项A错，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
4．A
【分析】由图可得∠ACB=135°，AC=，BC=2，且没有内角等于45°，然后分别求得A，B，C，D中各三角形的最大角或45°角，继而求得答案．
【详解】解：如图：∠ACB=135°，AC=，BC=2，且没有内角等于45°，
A、最大角=135°，两夹边分别为：1，，
∵：1=2：，
∴此图与△ABC相似；
B、∵有一个角等于45°，∴与△ABC不相似；
C、∵有一个角等于45°，∴与△ABC不相似；
D、∵最大角＜135°，∴与△ABC不相似．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
5．A
【分析】根据相似三角形的判定和性质计算求值即可；
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∵△ABO和△CDO的高之比为，
∴＝，
又∵AB＝36cm
∴CD＝16cm，
故选： A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似；相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比．
6．D
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；
③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，
故选D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．
7．B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
8．B
【分析】过点作DFBE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出，，进而得到答案．
【详解】解：如图，过点作DFBE交AC于点F，

由平行线分线段成比例定理得，
则，，
∴ CF＝EF，AE＝3EF
∴ EC＝CF＋EF＝
∴AE∶EC＝3EF∶＝6：5，
故选：B
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．B
【分析】设正方形零件的边长为．则，由题意易得，进而可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：设正方形零件的边长为．则，
由题可知，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴，
∴，
∴，
解得．即，
答：正方形零件的边长为．
故选择：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．C
【分析】设，则，,证明△ABE∽△BCD，从而可判断①，过点F作GQ⊥BC，则 证明再利用相似三角形的性质求解 再分别求解矩形与三角形的面积可判断②；在Rt△ABE中，AB=，BE=，求解 再分别求解从而可判断③；由BE//AD，证明 求解， 再在Rt△FQC中，由勾股定理可得 从而可判断④．
【详解】解：设，则，,


矩形ABCD，
∠ABE=∠DCB=90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠ABD=90°，AE⊥BD，故①正确；
过点F作GQ⊥BC，则
BE//AD

则FQ=，

，

则，故②错误；
在Rt△ABE中，AB=，BE=，
，


矩形ABCD，

，，
,


故③正确；
BE//AD，

而
矩形
四边形为矩形，

，
在Rt△FQC中，由勾股定理可得
则==，故④正确；
综上所述，正确结论为①③④，故选C
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识是解题的关键．
11．120
【分析】根据比例尺公式：比例尺=图上距离/实地距离，得到：实地距离=图上距离/比例尺计算即可.
【详解】 ．
故答案为
【点睛】本题考查比例尺的运用.熟练掌握比例尺公式是解题的关键.
12．10
【分析】要求的长，只要证得，然后利用相似三角形的对应线段成比例即可求解．
【详解】解：在和中，
，，
∴，
，
又，，，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，从图形中找出相似三角形是解题的关键．
13．（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：

点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．
14．④
【分析】由△ABC∽△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例以及面积法即可求得答案．
【详解】∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD•DB，
故①正确；
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2=AD•AB；
故②正确；
∵△ABC∽△CBD，
∴，
∴BC2=BD•BA，
故③正确；
而④无法证明；
故④不正确，
故答案为：④．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．
15．8
【分析】根据点是的重心，得出，根据得出，，由，，得出，，根据相似三角形的性质求得，，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于．

点是的重心，
，
，
，，
，，
，，
，，
，，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．2或7.5
【分析】分两种情况：（1）Q在AC边上时，如图1，作辅助线构建高线，先根据高线平行，利用相似三角形的性质求出，利用面积比是1：4列式，可得出AQ的长；（2）Q在AB边上时，如图2，同理可得出AQ的长．
【详解】解：分两种情况：
（1）在边上时，如图1，过作于，过作于，

则，，
∵，
，
，
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）在边上时，如图2，过作于，过作于，

则，，
，
，
，
∴
，
，
，
，
综上所述：的长为2或7.5．
故答案为：2或7.5
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据Q是△ABC某边上的一点，说明点Q不确定在AB或AC上，所以采用分类讨论的思想，作高线，根据三角形面积公式与面积比相结合，列式得出结论．
17．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据题意，按顺序画出所需弧并标注点即可；
（2）根据圆的定义以及勾股定理计算出AP的长度，然后计算AP与AB的比值即可．
（1）
根据题意画图如下：

（2）
解：设，则，，
由题意得，，
则，
，
则点是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查了尺规作图和黄金分割的定义，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
18．
【分析】由得①，由得②，整理可得答案．
【详解】解：，
①．
，
②．
由①与②，得，
．
（负值舍去），，
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例可证结论成立；
（2）连接CF，证明△AEC∽△ACF可得，结合（1）的结论可证结论成立．
（1）
证明：连接，

是的直径，
，
∵，
∴∠AHC=90°，
∴∠AHC=∠ACB．
而，
，
，
即；
（2）
证明：连接，
是的直径，
，
∵，
∴∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠AFB．
∵，
∴，
∴，

，
∵，
；

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
20．米
【分析】过点作于点，则四边形为矩形，设的长为，则，根据，可得，进而求得的长度，即的长度，根据，可得，进而根据相似三角形的性质列出比例式，解方程求解即可求出揽月阁的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，


四边形为矩形，
设的长为，则，












解得
揽月阁的高度为米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）直接利用相似三角形的周长关系得出相似比为：1：2，进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的面积关系得出相似比：1：，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：△，即为所求；

（2）解：如图所示：△，即为所求．

【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．
22．方案①正方形边长cm，方案②正方形边长cm．
【分析】方案①：设正方形的边长为xcm,然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8−y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：设方案①正方形的边长为cm，
，四边形是正方形，
，
，
，
即，
解得，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为cm，作于，交于，
∵四边形是正方形，
∴，．
∴于．
∴．
∴四边形为矩形．
设．
∵．
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴．
∴．
解得．
即方案②加工成正方形的边长为cm．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的对应边成比例，正方形的性质，熟记各性质并列出比例式是解题的关键．
23．(1)，证明见解析
(2)当时，与面积的比是，求解过程见解析
(3)当时，与面积的比是，求解过程见解析

【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得；
（2）先根据相似三角形的性质可得，设，则，，，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得；
（3）先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，从而可得，，再根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
（1）
解：，证明如下：
四边形是正方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在和中，，
．
（2）
解：，，
，
正方形的边长为5，
，
设，则，，
，
由折叠的性质得：，
在中，，即，
解得，，
当时，，即点与点重合，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意；
故当时，与面积的比是．
（3）
解：是边长为5的等边三角形，
，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
与面积的比是，
，
设，则，，，
，，
，
，
解得，
，
即当时，与面积的比是．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、折叠的性质、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．