数学选择性必修 第二册4.3 等比数列图文ppt课件

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4.3　等比数列4.3.1　等比数列的概念第1课时　等比数列的概念
1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．2．借助教材掌握等比数列的通项公式．3．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．1．能够通过实际问题理解等比数列的定义，掌握等比中项的概念，熟练掌握等比数列的判定方法．(数学抽象、逻辑推理)2．掌握等比数列的通项公式及其应用，能用递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)
一般地，如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的比都等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，公比通常用字母_____表示(显然q≠0)．
练一练：已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是(　　)
[解析]　数列{an}是公差为d≠0的等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，则a5＝a1＋4d，a17＝a1＋16d，第1、5、17项顺次成等比数列，则(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，解得a1＝2d，故选A．
想一想：“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”等价吗？提示：“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列．因此“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件．
A．－1 B．1C．2 D．±1
所以a2与a4的等比中项是±1，故选D.
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝____________(a1，q≠0)．
想一想：关于等比数列通项公式的推导，除了教材方法外还有哪些方法？提示：方法一(迭代法)　根据等比数列的定义，得an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1(n≥2)；当n＝1时，上面等式也成立．故当n∈N*时，an＝a1qn－1.
练一练：已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1[解析]　由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
　　　　　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
[解析]　(1)不是等比数列．(2)是等比数列，公比为1.(4)不是等比数列．(5)是等比数列，公比为－4.
A．是等差数列，也是等比数列B．是等差数列，不是等比数列C．是等比数列，不是等差数列D．不是等差数列，也不是等比数列
　　　　　在等比数列{an}中，公比为q.(1)若a1＝1，a4＝8，求an；(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解析]　(1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1.
[规律方法]　等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
A．2 B．－2 C．±2 D．4(2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)A．2 B．4 C．6 D．8
[规律方法]　(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，a，b没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起(有穷数列末项除外)，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项．
　　　　　　　　(1)已知数列{an}中an＝2n，则a2和a4的等比中项为_______.(2)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　)A．6 B．－6C．±6 D．±12
[解析]　(1)∵an＝2n，∴a2＝22＝4，a4＝24＝16，设a2和a4的等比中项为a，则a2＝4×16＝64，解得a＝±8.
　　　　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．[解析]　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，(2)由(1)知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
[规律方法]　判定数列是等比数列的常用方法(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
忽视等比中项的符号致错　　　　　等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[错解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
[误区警示]　错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．[正解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　)A．－24 B．0 C．12 D．24[解析]　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6，故数列的第4项为－24.
3．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9[解析]　由等比数列的性质可得，b2＝(－1)×(－9)＝ac，∴b2＝ac＝9，又b与首项－1同号，∴b＝－3.