新高考数学一轮复习提升训练6.4 求和方法（精练）（含解析）

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（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和Sn．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
则 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题组二裂项相消求和
1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也符合上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·浙江台州·二模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】(1)因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ≠0，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列；
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即证.
6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 符合上式
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：结合（1）得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题组三错位相减求和
1．（2022·广东·模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】选①， SKIPIF 1 < 0 ；选②， SKIPIF 1 < 0 ；选③， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】选①：当n≥2时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ．
当n＝1时， SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选②：当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是公比为－1的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选③：由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得： SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
(2)解：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
由①-②，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·广东韶关·一模）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，__________，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)选①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；选②： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；选③： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：若选①：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相加，整理的 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选②： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0
若选③： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
经检验当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 也成立，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
(2)
解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·广东·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
(2)由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
由①-②，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
于是， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
题组四分组求和
1．（2022·甘肃·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1
若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或d=0（舍去）
则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
可得前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，设公比为q（q>0），即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式以及前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n－1项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得d＝2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】(1)设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·云南·一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式及其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项和公比的等比数列，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
(3)解：设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和中，奇数项的和记为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项的和记为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
上式 SKIPIF 1 < 0 下式得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
题组五周期数列
1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知 SKIPIF 1 < 0 对任意的正整数n满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 …， SKIPIF 1 < 0 .
累加可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组六倒序相加法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和为（）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
由① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，其前20项和为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 若等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 2020
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用课本（苏教版必修 SKIPIF 1 < 0 ）中推导等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的方法，求得 SKIPIF 1 < 0 的值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，给出定义：设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“拐点” SKIPIF 1 < 0 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 SKIPIF 1 < 0 设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2016B．2017C．2018D．2019
【答案】C
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数的导数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ，故设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 均为常数），且 SKIPIF 1 < 0 .设函数 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行 SKIPIF 1 < 0 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A．98B．99C．100D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.