备战2024年高考数学一轮复习6.4求和方法(精练)(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学一轮复习6.4求和方法(精练)(原卷版+解析)，共33页。

（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
题组二 裂项相消求和
1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
2．（2022·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
题组三 错位相减求和
1．（2022·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和．
2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
3．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
题组四 分组求和
1．（2022·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.
6．（2022·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
题组五 周期数列
1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.
2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．
题组六 倒序相加法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
2．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则
A．2016B．2017C．2018D．2019
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
6.4 求和方法（精练）（提升版）
题组一 公式法求和
1．（2022·黑龙江）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，
则∴，∴．
（2），∴，
∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴．
2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得或(舍去).
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列可得，
解得，，
所以.
(2)由可得，
所以，
所以
.
题组二 裂项相消求和
1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为，
所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，
当时，也符合上式，
所以数列的通项公式；
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以，
．
所以．
2．（2022·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)解：（1）由，得.
又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.
故，即.
(2)由，
故
，
故
．
3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.
(2)，
所以，
因为，所以.
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)当时，由，得或，
∵，∴，
由，得
当时，
由，得，
整理得，
∵，∴≠0，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）得，
，
∴．
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，，
因为，故，
又，
故数列是公差为的等差数列.
(2)因为，
故，
又是单调增函数，且，
又当时，，故，即证.
6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
题组三 错位相减求和
1．（2022·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和．
【答案】选①，；选②，；选③，.
【解析】选①：当n≥2时，因为，
所以，
上面两式相减得．
当n＝1时，，满足上式，所以．
因为，
所以，
上面两式相减，得：，
所以．
选②：当时，因为，所以，
上面两式相减得，即，经检验，，
所以是公比为－1的等比数列，．
因为，
所以．
选③：由，
得：，
由累加法得：．
又，所以．
因为，
所以，
上面两式相减得，
所以．
2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列；
(2)解：由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故.
3．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)
【解析】(1)解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的
又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
(2)
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
4．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列．
(2)由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故．
5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)由，得，
所以是等比数列.
所以
从而
所以，．
(2)设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．
题组四 分组求和
1．（2022·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)由得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
由可知数列是等差数列，首项，公差，
所以.
(2)
即
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1
若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，
即有，解得或d=0（舍去）
则.
(2)解：
可得前项和
.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.
【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为
(2)
则
当n为偶数时，；当n为奇数时，.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)依题意，，则，
故，解得d＝2，∴，
故，.
(2)依题意，得，
故，
故
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)设数列的公比为q，
由，得，所以.
因为，，成等差数列，所以，
即，解得.
因此.
(2)因为，
所以
.
因为，，所以.
6．（2022·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，∴.∴.
∵数列的前项和为，∴.
∴.所以数列是首项为，公比为的等比数列.∴.
当时，由和得，解方程得.
∴.∴数列的通项公式为.
(2)由（1）知：.
∴.
∴.
∴
.
7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，
由已知可得，即，解得，故，
.
(2)证明：因为，，则，
因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，
因此，，因此，.
(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.
当，，
则，
，
上式下式得
，
故.
当时，
，
所以，
，
因此，.
题组五 周期数列
1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.
【答案】
【解析】
，
∴.故答案为：
2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．
【答案】
【解析】由得.
又因为,故.故.
故,…，.
累加可得.
故,故
故答案为：
题组六 倒序相加法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
设，
则，
两式相加得，因此，.故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则
A．2016B．2017C．2018D．2019
【答案】C
【解析】函数，函数的导数，，
由得，解得，而，故函数关于点对称，
，故设，
则，
两式相加得，则，故选C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；
所以，
.
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此.
故选：D．
6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项，所以，
所以，所以.故选：C.