备战高考2024年数学第一轮专题复习4.4 构造函数常见方法（精练）（提升版）（解析版）

4.4 构造函数常见方法（精练）（提升版）

1．（2022·重庆）已知定义在上的奇函数，且其图象是连续不断的，满足，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，

令，

，则，在单调递减．

又为上的奇函数，，，

，．

而，

，，即，故选：．

2．（2022·江苏）设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）

【答案】C

【解析】因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，所以f′（x）＜2x﹣1＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，

又f（x）是偶函数，所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，

所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C．

3．（2021·四川）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，可设，则为奇函数，又当时，所以在R上为增函数，且，转化为,当时，则，当，则，则，故解集是，故选C.

4．（2021·四川）设函数在上存在导函数，且有，；若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，则，所以在上单调递增

由，得，即，又因为，所以，

所以，所以，解得.故选：D

1．（2022·河北承德）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，因为当时，，所以在上单调递减．

又是定义在上的奇函数，所以，

所以为偶函数，所以在上单调递增．

又不等式可化为，即，所以

且，得或．故选：A.

2．（2022·四川雅安）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，因为是偶函数，所以为偶函数，

当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

则，即，则，故A错误；

，即，故B错误；

，即，故C错误；

，即，则，故D正确.

故选：D.

3．（2022·陕西渭南）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，则，

令，，则，即在上单调递增，

对于A，，即，A正确；

对于B，，即，B不正确；

对于C，，即，C不正确；

对于D，，即，有，D不正确.

故选：A

4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，

因为，所以．

令，则在R上单调递增．又，，

所以，．

因为，所以，即，所以，

所以．故选：C．

5（2022·广东）已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为定义在上的函数满足为偶函数，

所以函数关于直线对称，即.

因为当，有，即，

故令，则在上单调递增，

因为，

所以关于点对称，

所以在上单调递增，

因为，所以

所以，当时，，所以.

当时，，所以且，即无解.

所以，不等式的解集是

故选：A

6．（2022·广东广州·三模）设为函数的导函数，已知，则（       ）

A．在单调递增                   B．在单调递减

C．在上有极大值               D．在上有极小值

【答案】D

【解析】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，

当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，

又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.

故选：D.

7．（2022·四川攀枝花）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令函数，则，因为定义域为的是奇函数，所以函数

为偶函数；当时，因为，所以，即，所以在上为单调递增，

，，，因为，所以，

根据在上单调递增，所以．即．故选：D．

1．（2022·广西）函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，都有成立，∴，

令，则于是有 ，所以在上单调递增，

∵，∴，∵不等式，

∴，即不等式的解集是.故选：B．

2．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B.

3．（2022·四川攀枝花）设是定义在R上的连续奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令.

则，所以在上单调递减.

又，所以当时，，而，所以；

所以当时，，而，所以.

在中，令x=1可得：.所以当时都要.

又是定义在R上的连续奇函数，所以，当时，.

所以可化为：或或，解得：或或.

综上所述：.故选：B

4．（2022·全国·高三专题练习）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，则，

，，在上单调递增，

，即，.

故选：A.

5．（2022·天津外国语大学附属外国语学校）己知定义在上的可导函数的导函数为，满足

且为偶函数，，则不等式的解集为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，，，在定义上单调递减；①

又为偶函数，，，，

则不等式，即，由①得，故选：C．

6．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，该函数的定义域为，

则，所以在上单调递增．

由可得，即，

又在上单调递增，所以，解得，

所以原不等式的解集是，故选：D．

7．（四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题）已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．

【答案】

【解析】设，则 ，

因为，，所以，可得在上单调递减，

不等式，即，即，所以，

因为在上单调递减，所以，又因为，所以不等式的解集为：，故答案为：．

8．（河北省衡水市部分学校2022届高三下学期4月联考数学试题）已知函数的导函数为，定义域为，且满足，则不等式恒成立时m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由题意，函数的定义域为，

因为，可得，

设，可得，所以函数在上单调递减，

又由，所以，且，

则，解得，即m的取值范围为.

故答案为：.

1．（2021·河南新乡市·高三一模）设函数是定义在上的奇函数，函数的导函数为，且当时，，为自然对数的底数，则函数在上的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得.

令，因为，所以等价于.当时，，在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以也是定义在上的奇函数，从在上单调递增，又，所以在上只有个零点，从而可得在上只有个零点.

故选：B.

2．（2022·湖北）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有

，则关于x的不等式的解集为（　　）

A．（，π） B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，因为当时，有，

所以，当时，，

所以，函数在(内为单调递减函数，

所以，当时，关于的不等式可化为，即，

所以；

当时，，则关于的不等式可化为，即

因为函数为奇函数，故，也即

所以，即，

所以，．

综上，原不等式的解集.

故选：D．

3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.

偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；

，，故C错误；

，，故D错误.

故选：B

4．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，则

则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数

则是上的偶函数，且在单调递减，

由，可得，则，

则时，不等式

可化为

又由函数在上单调递增，且，，

则有，解之得

故选：D

1．（2022·江西赣州）已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，取得极大值，则，，

故．故选：D

2．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，，得，，，

构造函数，求导得，令，得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

因为，所以，所以，

又因为，在上单调递减，所以.

故选：A．

3．（2022·新疆乌鲁木齐）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

又，，，

又，所以.故选：A.

4（2022·辽宁大连·二模）下列不等式正确的是(       )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

则当0<x<e时，，单调递增；

当时，，单调递减；

则，

对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，∵，故根据f(x)的单调性可知，

故D错误．故选：B﹒

5．（2022·山东潍坊·模拟预测）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设,则,

当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

故当时,函数取得最大值,

因为,,

,当时,,函数单调递减,可得,

即.故选:C

6．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知，，，则（        ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，，

当时，，，，单调递增，

，即，，即，

令，

，

令，

令，，

当时，，单调递增，

在上单调递减，，

，在上单调递减，

，即，

综上：.故选：D.

7．（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造，，

，

在时为减函数，且，

所以在恒成立，

故在上单调递减，

所以，

即，所以，即.故选：D

8．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设，，，则下列关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】记.

因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.

记.

因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.

所以.

记.

因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.

所以.综上所述：.故选：C

9．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知，，，其中，分别是圆周率、自然对数的底数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】构造函数，则，当时，，在上单调递减，

所以，即，所以，即；

构造函数，，当时，，在上单调递增，

所以，即，所以，，即，

所以

故选：C

10．（2022·江西景德镇）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】记.

因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.

记.

因为，所以在上单调递减函数，所以当时，，即，所以.所以.

记.

因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.

综上所述：.故选：B

11．（2022·福建·模拟预测）已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设函数，则为偶函数，且当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以，又，，，所以.故选：B.