2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.2　排列与组合

§10.2　排列与组合

考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．

知识梳理

1．排列与组合的概念

2.排列数与组合数

(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号________________表示．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

常用结论

1．排列数、组合数常用公式

(1)A＝(n－m＋1)A.

(2)A＝nA.

(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.

(4)kC＝nC.

(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.

2．解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排．

(2)合理分类与准确分步．

(3)排列、组合混合问题要先选后排．

(4)相邻问题捆绑处理．

(5)不相邻问题插空处理．

(6)定序问题倍缩法处理．

(7)分排问题直排处理．

(8)“小集团”排列问题先整体后局部．

(9)构造模型．

(10)正难则反，等价转化．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)

(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)

(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　)

教材改编题

1．A＋C等于(　　)

A．35  B．47  C．45  D．57

2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　)

A．18  B．24  C．30  D．36

3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．

题型一　排列问题

例1 (1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)

A．576  B．288  C．144  D．48

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(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字的六位奇数．

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思维升华 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　)

A．18种   B．36种

C．72种   D．108种

(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．

题型二　组合问题

例2 (1)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法中正确的有(　　)

①如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法；

②如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法；

③如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；

④如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法．

A．①②   B．②③

C．③④   D．①②④

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(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有(　　)

A．80种  B．180种  C．260种  D．420种

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思维升华 组合问题常有以下两类题型

(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

跟踪训练2 (1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为(　　)

A．12  B．24  C．34  D．60

(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．

题型三　排列与组合的综合问题

命题点1　相邻、相间问题

例3 已知有3名男生，4名女生，则下列说法错误的是(　　)

A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法

B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法

C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法

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命题点2　定序问题

例4 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.

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命题点3　分组、分配问题

例5 (1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)

A．60  B．90  C．120  D．150

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(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　)

A．20种   B．36种

C．72种   D．84种

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思维升华 求解排列、组合应用问题的常用方法

跟踪训练3 (1)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法不正确的是(　　)

A．若A，B不相邻，有72种排法

B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法

C．若A在B右边，有60种排法

D．若A，B两人站在一起，有48种排法

(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A．72  B．120  C．144  D．168

(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)