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2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.4　回归分析

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这是一份2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.4　回归分析，共9页。试卷主要包含了82 B．0，606，eq \r≈3，25，48，16等内容，欢迎下载使用。

§11.4　回归分析

考试要求　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

知识梳理

相关关系与回归方程

(1)相关关系的分类

①正相关

在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为正相关．

②负相关

在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(2)线性相关关系

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做________________．

(3)回归方程

①最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的________________________________的方法叫做最小二乘法．

②回归方程

方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．

(4)回归分析

①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

②样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中________________称为样本点的中心．

③相关系数

当r>0时，表明两个变量________________；

当r<0时，表明两个变量________________．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．

常用结论

1．回归直线过样本点的中心(，)．

2．求时，常用公式＝.

3．回归分析是基于样本观测数据进行估计或推断的，得出的结论可能犯错误．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相关关系是一种非确定性关系．(　　)

(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　)

(3)回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　)

(4)相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强．(　　)

教材改编题

1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．

则下列操作顺序正确的是(　　)

A．①②④③ B．③②④①

C．②③①④ D．②④③①

2．对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)

A．－0.82 B．0.78

C．－0.69 D．0.87

3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温(℃)	18	13	10	－1
用电量(度)	24	34	38	64

由表中数据得到线性回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)

A．68度 B．52度

C．12度 D．28度

题型一　数据的相关性

例1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：

x	3	4	5	6	7
y	3.5	2.4	1.1	－0.2	－1.3

根据表格中的数据求得线性回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)

A.>0，>0 B.>0，<0

C.<0，>0 D.<0，<0

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到线性回归方程＝2x＋2，相关系数为r2.则(　　)

A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1

C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．

(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强．

(3)线性回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．

跟踪训练1 (1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计数据如表所示：

年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022
年利润x	12.2	14.6	16	18	20.4	22.3
年广告支出y	0.62	0.74	0.81	0.89	1	1.11

根据统计数据，则利润中位数(　　)

A．是16，x与y有正相关关系

B．是17，x与y有正相关关系

C．是17，x与y有负相关关系

D．是18，x与y有负相关关系

(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　)

A．r1>r2 B．r1＝r2

C．r1<r2 D．不确定

题型二　回归分析

命题点1　线性回归模型

例2 (2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：

利率上升百分点x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
日均存款总额y(亿元)	0.2	0.35	0.5	0.65	0.8

(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；

(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的线性回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？

参考公式及数据：①＝，

＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.

________________________________________________________________________

命题点2　非线性回归模型

例3 (2023·保山模拟)某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2013年以来的乡村经济收入y(单位：亿元)进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值1—10分别对应2013年至2022年．

(1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋b拟合y与x的关系，其相关系数分别为r1＝0.851 9，r2＝0.990 1，试判断哪个模型的相关程度更强？

(2)根据(1)中相关程度更强的模型，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并估计该县2026年的乡村经济收入(精确到0.01)．

参考数据：ti＝，＝i，≈3.606，≈3.742，≈3.873.

		(xi－)2	(ti－)2	(xi－)·(yi－)	(ti－)·(yi－)
72.65	2.25	126.25	4.52	235.48	49.16

参考公式：对于一组数据(t1，y1)，(t2，y2)，…，(tn，yn)，线性回归方程＝t＋中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

＝，＝－.

________________________________________________________________________

思维升华求线性回归方程的步骤

跟踪训练2 (2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：

外卖份数x(份)	2	4	5	6	8
收入y(元)	30	40	60	50	70

(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；

(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于外卖份数x的线性回归方程；

(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．

参考数据与公式：＝145，iyi＝1 380，

＝＝，

＝－.

________________________________________________________________________

题型三　残差分析

例4 (1)下列说法中正确的是(　　)

①在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位；

②在线性回归方程＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25；

③在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；

④若两个变量的相关指数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．

A．①③ B．①②④

C．①④ D．②③④

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：

月份代码x	1	2	3	4	5
碳酸锂价格y(万元/kg)	0.5	0.6	1	m	1.5

根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则m＝________.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华检验回归模型的拟合效果的两种方法

(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．

(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．

跟踪训练3 (1)下列命题是真命题的为(　　)

A．回归直线＝x＋一定不过样本点

B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量的线性相关程度越弱

C．在回归分析中，相关指数R2＝0.80的模型比相关指数R2＝0.98的模型拟合的效果要好

D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

(2)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：

x	9	9.5	10	10.5	11
y	11	10	8	6	5

其线性回归方程是＝x＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．

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