备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十章 §10.2 排列与组合

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§10.2　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．

知识梳理
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组

2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C

常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　×　)
教材改编题
1．A＋C等于(　　)
A．35 B．47 C．45 D．57
答案　B
解析　A＋C＝4×3＋＝47.
2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24 C．30 D．36
答案　C
解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有CC＋CC＝30(种)．
3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．
答案　36
解析　第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.

题型一　排列问题
例1 (1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)
A．576 B．288 C．144 D．48
答案　B
解析　根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字的六位奇数．
答案　288
解析　方法一　从特殊位置入手(直接法)
分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个)．
方法二　从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A种排法，故无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个)．
方法三　(间接法)
6个数字的全排列有A种排法，0,2,4在个位上的排列数为3A，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A，故无重复数字的六位奇数有A－3A－3A＝288(个)．
思维升华 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　)
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
答案　B
解析　先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A种放法；再排剩余的3道程序，共有A种放法．
则共有A·A＝36(种)放法．
(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．
答案　5 760
解析　先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法，其余5人有A种排法，故不同的排法共有AAA＝5 760(种)．

题型二　组合问题
例2 (1)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法中正确的有(　　)
①如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法；
②如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法；
③如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；
④如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法．
A．①② B．②③
C．③④ D．①②④
答案　C
解析　如果4人全部为男生，那么选法有C＝15(种)，故①错误；
如果4人中男生、女生各有2人，那么男生的选法有C＝15(种)，女生的选法有C＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，②错误；
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的8人中再选2人即可，有C＝28(种)选法，故③正确；
在10人中任选4人，有C＝210(种)选法，甲、乙都不在其中的选法有C＝70(种)，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故④正确．
(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有(　　)
A．80种 B．180种 C．260种 D．420种
答案　C
解析　根据题意，分2种情况讨论，
①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，
则有CCA＝80(种)选法，
②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，
则有CCA＝180(种)选法，
由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．
思维升华 组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
跟踪训练2 (1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为(　　)
A．12 B．24 C．34 D．60
答案　C
解析　由题可知，选派4人去的总的选派种数为C＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.
(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．

答案　252
解析　构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C＝252(种)．

题型三　排列与组合的综合问题
命题点1　相邻、相间问题
例3 已知有3名男生，4名女生，则下列说法错误的是(　　)
A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法
B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法
C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法
答案　A
解析　对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A种排法，故共有A·A＝576(种)排法，故A错误；
对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法，故B正确；
对于C，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C×2×1＝70(种)，故C正确；
对于D，若甲站在排尾，则有A种排法，若甲不站在排尾，则有AAA种排法，故共有A＋AAA＝3 720(种)排法，故D正确．

命题点2　定序问题
例4 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.
答案　840
解析　7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝A＝840(种)不同的排法．

命题点3　分组、分配问题
例5 (1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)

A．60 B．90 C．120 D．150
答案　D
解析　满足条件的分法可分为两类，
第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有CA种，即60种，
第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有A种，即90种，
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.
(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　)
A．20种 B．36种
C．72种 D．84种
答案　C
解析　将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为CCC，
其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C··A，
所以满足条件的不同的安排方案共有CCC－C··A＝90－18＝72(种)．
思维升华 求解排列、组合应用问题的常用方法
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

跟踪训练3 (1)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法不正确的是(　　)
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法
C．若A在B右边，有60种排法
D．若A，B两人站在一起，有48种排法
答案　B
解析　对于A，若A，B不相邻，有AA＝72(种)排法，故A正确；
对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有A－2A＋A＝78(种)排法，故B不正确；
对于C，若A在B右边，有＝60(种)排法，故C正确；
对于D，若A，B两人站在一起，有AA＝48(种)排法，故D正确．
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120 C．144 D．168
答案　B
解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”．对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．
(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
答案　1 680
解析　先选出3人，有C种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C种选法，最后剩下的3人为一组，有C种选法．
由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有·A＝1 680(种)．
课时精练

1．若A＝6C，则m等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　C
解析　因为A＝6C，所以m(m－1)(m－2)＝6×，
即1＝，解得m＝7.
2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．40
答案　B
解析　将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有CCA＝20(种)．
3．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
答案　B
解析　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．
4．由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有(　　)
A．120个 B．30个 C．36个 D．48个
答案　C
解析　因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类：
当个位数字为5时，首位数字从1,2,3,4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有4×4＝16(个)；当个位数字为0时，前面两位数字从1,2,3,4,5中选2个排列，所以有A＝5×4＝20(个)，
所以所求的三位数共有16＋20＝36(个)．
5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)
A．15 B．20 C．30 D．42
答案　C
解析　四个篮球分成三组有C种分法，三组篮球进行全排列有A种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30(种)分法．
6．(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为(　　)
A．144 B．150 C．168 D．192
答案　D
解析　由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，
若没有限制则共有C·A＝240(种)安排方法；
当两个女同学在一起时有A＝24(种)安排方法；
当男同学小王、女同学大雅在一起时有A＝24(种)方法，
所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.
7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　)

A．208 B．204 C．200 D．196
答案　C
解析　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.
8．现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法中正确的有(　　)
①恰有1个盒子不放球，共有72种放法；
②每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种；
③有2个盒子内不放球，另外2个盒子内各放2个球的放法有36种；
④恰有2个盒子不放球，共有84种放法．
A．①② B．①③
C．①②③ D．②③④
答案　D
解析　对于①，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，
则共有CCA＝144(种)放法，故①不正确；
对于②，编号为1的球有C种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，有1＋C＝3(种)放法，
即共有3×3＝9(种)放法，故②正确；
对于③，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有CC＝36(种)放法，故③正确；
对于④，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况放入盒子，共有C(CC＋C)＝6×14＝84(种)放法，故④正确．
9．(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．
答案　36
解析　依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C种方法﹐
再将其进行全排列共有A种方法﹐
由分步乘法计数原理得，共有CA＝36(种)安排方法．
10．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．
答案　216
解析　根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有·A种分法，
然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A种分法，
所以共有·A·A＝216(种)不同的分配方案．

11．(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有(　　)
A．144种 B．216种
C．288种 D．432种
答案　C
解析　第一步：先将3名母亲全排列，共有A种排法；
第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A种排法；
第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有CC种排法．
所以不同的排法共有AAACC＝288(种)．
12．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．
答案　96
解析　先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C＝4(种)分法，再对应到4个人，有A＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．

13．(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有(　　)
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
答案　B
解析　由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．
14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．
答案　10
解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，所以A＝AA，解得n＝10.