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2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布01第46讲排列与组合（课件+解析试卷）
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这是一份2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布01第46讲排列与组合（课件+解析试卷），文件包含第10章计数原理概率及其分布01第46讲排列与组合pptx、第10章计数原理概率及其分布01第46讲排列与组合docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共55页， 欢迎下载使用。
1．(人A选必三P27T13(4)改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是( )A．18B．24C．30D．36
2．(人A选必三P26T9改编)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
3．6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有( )A．288种B．144种C．96种D．48种
4．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为______．
5．(人A选必三P28T19)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这两个回答分析，5人的名次排列有______种不同情况．
1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
4．排列数、组合数的定义、公式、性质
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．
(2)(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A．30种B．60种C．120种D．240种
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．
(1)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)插空法：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中．
变式 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A．12种B．24种C．36种D．48种
变式 (2)(2023·沈阳一模)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有( )A．24种B．48种C．72种D．96种
(2023·怀化二模)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有________种．
(不同元素)平均分组、部分平均分组(2)对部分均分，注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
变式 (2023·青岛期末)将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种．
将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
1．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A．120B．60C．40D．30
2．(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
3．有30个完全相同的乒乓球，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个乒乓球，则不同的分配方案有( )A．680种B．816种C．1 360种D．1 456种
4．(2023·石家庄一模)为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为( )A．96 B．120 C．144 D．240
A组 巩固练1．用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数，其中奇数不相邻且1,2必须相邻，则满足要求的六位数共有( )A．72个B．96个C．120个D．288个
2．某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则不同的分配方案有( )A．15种B．20种C．10种D．30种
3．(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有( )A．300种B．210种C．180种D．150种
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停放方法有( )A．72种B．144种C．108种D．96种
5．(2024·镇江期初)(多选)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是( )A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法B．若小红、小兰安排去同一个地方参观，则有6种安排方法C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法D．共有18种安排方法
6．(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
7．(多选)下列结论正确的是( )A．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有24种放法B．将4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
对于A,4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有44＝256种放法，故A错误．
对于D，编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)，共9种放法，故D正确．
8．(2023·茂名一模)将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有______种．
9．(2023·汕头期初)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种．
10．(2023·泉州二测)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有_______种．
11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1) 不出现空盒时的放入方式共有多少种？
11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(2) 可出现空盒时的放入方式共有多少种？
12．(1) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有5×5×4＝100种不同的排法，所以可以组成100个无重复数字的三位数．
(2) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6＝180种不同的排法，所以可以组成180个数字允许重复的三位数．
12．(3) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有3×4×4＝48种不同的排法，所以可以组成48个无重复数字的三位奇数．
(4) 用1,1,1,2,3,4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有A＝6×5×4＝120种排法，所以可以组成120个六位数．
13．如图，从左到右有5个空格．
(1) 若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少种不同的填法？
根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，故共有3×2×2×2×2＝48种不同的涂法．
(2) 若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红、黄、蓝三种颜色可供使用，则一共有多少不同的涂法？
(3) 若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，则有多少种不同的放法？
B组 创新练14．定义“有增有减”数列{an}如下：存在k∈N*，满足ak＜ak＋1，且存在s∈N*，满足as＞as＋1．已知“有增有减”数列{an}共4项，若ai∈{t，x，y，z}(i＝1,2,3,4)且t＜x＜y＜z，则数列{an}共有( )A．190个B．214个C．228个D．252个
1．(人A选必三P27T13(4)改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是( )A．18B．24C．30D．36
2．(人A选必三P26T9改编)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
3．6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有( )A．288种B．144种C．96种D．48种
4．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为______．
5．(人A选必三P28T19)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这两个回答分析，5人的名次排列有______种不同情况．
1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
4．排列数、组合数的定义、公式、性质
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．
(2)(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A．30种B．60种C．120种D．240种
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边．
(1)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)插空法：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中．
变式 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A．12种B．24种C．36种D．48种
变式 (2)(2023·沈阳一模)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有( )A．24种B．48种C．72种D．96种
(2023·怀化二模)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有________种．
(不同元素)平均分组、部分平均分组(2)对部分均分，注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
变式 (2023·青岛期末)将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种．
将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
1．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A．120B．60C．40D．30
2．(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
3．有30个完全相同的乒乓球，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个乒乓球，则不同的分配方案有( )A．680种B．816种C．1 360种D．1 456种
4．(2023·石家庄一模)为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为( )A．96 B．120 C．144 D．240
A组 巩固练1．用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数，其中奇数不相邻且1,2必须相邻，则满足要求的六位数共有( )A．72个B．96个C．120个D．288个
2．某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则不同的分配方案有( )A．15种B．20种C．10种D．30种
3．(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有( )A．300种B．210种C．180种D．150种
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停放方法有( )A．72种B．144种C．108种D．96种
5．(2024·镇江期初)(多选)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是( )A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法B．若小红、小兰安排去同一个地方参观，则有6种安排方法C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法D．共有18种安排方法
6．(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
7．(多选)下列结论正确的是( )A．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有24种放法B．将4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
对于A,4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有44＝256种放法，故A错误．
对于D，编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)，共9种放法，故D正确．
8．(2023·茂名一模)将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有______种．
9．(2023·汕头期初)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种．
10．(2023·泉州二测)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有_______种．
11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1) 不出现空盒时的放入方式共有多少种？
11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(2) 可出现空盒时的放入方式共有多少种？
12．(1) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有5×5×4＝100种不同的排法，所以可以组成100个无重复数字的三位数．
(2) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6＝180种不同的排法，所以可以组成180个数字允许重复的三位数．
12．(3) 用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有3×4×4＝48种不同的排法，所以可以组成48个无重复数字的三位奇数．
(4) 用1,1,1,2,3,4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有A＝6×5×4＝120种排法，所以可以组成120个六位数．
13．如图，从左到右有5个空格．
(1) 若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少种不同的填法？
根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，故共有3×2×2×2×2＝48种不同的涂法．
(2) 若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红、黄、蓝三种颜色可供使用，则一共有多少不同的涂法？
(3) 若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，则有多少种不同的放法？
B组 创新练14．定义“有增有减”数列{an}如下：存在k∈N*，满足ak＜ak＋1，且存在s∈N*，满足as＞as＋1．已知“有增有减”数列{an}共4项，若ai∈{t，x，y，z}(i＝1,2,3,4)且t＜x＜y＜z，则数列{an}共有( )A．190个B．214个C．228个D．252个
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