2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为 、 、 ,按终边位置不同分为 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于________________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么sin α＝__________，cs α＝__________，tan α＝________(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－eq \f(π,3)是第三象限角．( )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cs α＝－eq \f(3,5).( )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
(4)若圆心角为eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq \f(3π,2).( )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－eq \f(13,3)π rad B．－eq \f(25,6)π rad
C．－eq \f(11,3)π rad D．－eq \f(23,6)π rad
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.eq \f(α,2)是第三象限角
C.eq \f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
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延伸探究 若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
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(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
思维升华 确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)“α是第四象限角”是“eq \f(α,2)是第二或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·北京)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
题型二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
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思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
跟踪训练2 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0(1)求θ关于x的函数表达式；
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(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
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题型三 三角函数的概念
例3 (1)设点P是以原点O为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0,1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角eq \f(π,3)到达点P2，若点P2的纵坐标是－eq \f(1,2)，则点P1的坐标是________．
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋eq \f(3,cs α)的值为( )
A．－6eq \r(10) B．6eq \r(10)
C．0 D．－3eq \r(10)
(3)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
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思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cs α的值是( )
A．－eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5) C．－eq \f(\r(5),5) D.eq \f(3\r(5),5)或－eq \f(3\r(5),5)
(2)sin 2cs 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝eq \f(\r(33),6)，则实数a的值为________．角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝________ rad；
1 rad＝________________
弧长公式
l＝________
扇形面积公式
S＝________＝________