2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式（附答单独案解析）

§4.2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α .2.掌握诱导公式，并会简单应用．

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：________________________.

(2)商数关系：________________________

2．三角函数的诱导公式

常用结论

同角三角函数的基本关系式的常见变形

sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)

(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)

(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)

教材改编题

1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)

A．－   .

C．－2    ．2

2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D．2

3．化简·cos(2π－α)的结果为______．

题型一　同角三角函数基本关系

例1 (1)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，给出下列结论：

①θ∈；

②cos θ＝－；

③tan θ＝－；

④sin θ－cos θ＝.

则结论正确的有(　　)

A．①②   B．①③④

C．①④   D．②③

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(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________.

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(3)已知tan α＝2，则＝______；sin2α＋cos2α＝________.

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思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

(2)若θ为△ABC的一个内角，且sin θ·cos θ＝－，则sin θ－cos θ等于(　　)

A．±  B.  C．－  D.

题型二　诱导公式

例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)

A．sin(3π－x)＝－sin x

B．sin ＝cos 

C．tan(x－π)＝－tan x

D．cos(－x)＝－cos x

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(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为________．

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思维升华 诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

跟踪训练2 (1)若＝，则tan α等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－.

题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

例3 (1)(2023·长沙模拟)已知sin＝，且－α为第二象限角，则sin＋sin＝________.

(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，且<α<π，则sin α－cos α等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

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思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．

跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　)

A.  B.  C.  D．2

(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________，sin＝________.