2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.8　正弦定理、余弦定理（附答单独案解析）

§4.8　正弦定理、余弦定理

考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.三角形解的判断

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝________________＝______________＝________________；

(3)S＝________________________(r为三角形的内切圆半径)．

常用结论

在△ABC中，常有以下结论：

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.

(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

(6)三角形中的面积S＝.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)

教材改编题

1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)

A.  B.  C.  D.

2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　)

A．8  B．4  C.  D.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________.

题型一　利用正弦定理解三角形

例1 (1)在△ABC中，若AB＝，B＝，C＝，则AC等于(　　)

A.   B．3 

C．2   D．3

(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于(　　)

A．30°   B．60° 

C．120°   D．60°或120°

听课记录：______________________________________________________________________

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延伸探究 若将本例(2)条件变为“a＝，A＝60°，c＝2”，求C.

思维升华 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.

跟踪训练1 (1)已知在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)

A．2   B.

C．2或   D．均不正确

(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，则△ABC的面积为________．

题型二　利用余弦定理解三角形

例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(B＋C)＝，a＝4，b＝2则c等于(　　)

A．3  B．2  C.  D．4

听课记录：______________________________________________________________________

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思维升华 利用余弦定理可解决两类三角形问题：

一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．

跟踪训练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，则c等于(　　)

A.  B．3－  C．3  D．2

(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cos B的值是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

题型三　三角形的形状判断

例3 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰三角形

(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

听课记录：______________________________________________________________________

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延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．

思维升华 判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

跟踪训练3 (1)(2023·拉萨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)

A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形

B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等边三角形

C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形

D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形

(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等边三角形   D．钝角三角形