高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置习题，共26页。试卷主要包含了圆的圆心到直线的距离为1，则，圆上的点到直线的距离的最小值是，直线与圆交于，两点，则　　等内容，欢迎下载使用。
直线与圆的位置关系
一．选择题（共7小题）
1．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是　　
A． B． C． D．
2．圆的圆心到直线的距离为1，则　　
A． B． C． D．2
3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
4．圆上的点到直线的距离的最小值是　　
A．6 B．4 C．5 D．1
5．过点，的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
6．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为　　
A． B． C． D．
7．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共15小题）
8．直线与圆交于，两点，则　　．
9．已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为　　．
10．过点作圆的弦，其中最短的弦长为　　．
11．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为　 　．
12．直线被圆所截得的弦长等于　　．
13．在平面直角坐标系中，圆，圆．若存在过点的直线，被两圆截得的弦长相等，则实数的取值范围　　．
14．在平面直角坐标系中，点，是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为　 　．
15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 　　．
16．设点是函数图象上任意一点，点，，则的最小值为　　．
17．已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆的标准方程为　　．
18．已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为　　．
19．已知圆，点，直线与圆交于，两点，点在直线上且满足．若，则弦中点的横坐标的取值范围为　　．

20．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为　　．
21．已知，，且满足，则的最小值是　　．
22．圆上的点到直线的距离的最大值是　　．
三．解答题（共6小题）
23．已知，圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．







24．如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．
（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．





25．已知关于，的方程．
（1）若方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若圆与直线相交于，两点，且，求的值．



26．已知圆的圆心为，直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．



27．已知点及圆．
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过点的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．


28．已知直线与圆相交于、两点，是坐标原点，三角形的面积为．
（Ⅰ）试将表示成的函数，并求出它的定义域；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时的值．

直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是　　
A． B． C． D．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得的值．
【解答】解：圆 即，
故弦心距．
再由弦长公式可得，，
故选：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
2．圆的圆心到直线的距离为1，则　　
A． B． C． D．2
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆的圆心坐标为：，
故圆心到直线的距离，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】求出，，，设，，点到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围．
【解答】解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
点在圆上，设，，
点到直线的距离：
，
，，，
面积的取值范围是：
，，．
故选：．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4．圆上的点到直线的距离的最小值是　　
A．6 B．4 C．5 D．1
【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．
【解答】解：圆的圆心坐标，到直线的距离是，所以圆上的点到直线的距离的最小值是
故选：．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．
5．过点，的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得，由此求得斜率的范围，可得倾斜角的范围．
【解答】解：由题意可得点，在圆的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为，
则直线方程为，即．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得，
即，解得，故直线的倾斜角的取值范围是，，
故选：．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
6．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】如图，设的中点为，坐标原点为，圆半径为，由已知得，过点作直线的垂直线段，交于，交直线于，则当恰为中点时，圆的半径最小，即面积最小．
【解答】解：如图，设的中点为，坐标原点为，圆半径为，

由已知得，
过点作直线的垂直线段，
交于，交直线于，
则当恰为中点时，圆的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为到直线的距离为：
，
此时
圆的面积的最小值为：．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
7．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得所求直线经过点，斜率为1，再利用点斜式求直线的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线经过点，斜率为1，
故的方程是，即，
故选：．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．
二．填空题（共15小题）
8．直线与圆交于，两点，则　　．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：圆的圆心，半径为：2，
圆心到直线的距离为：，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
9．已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为　　．
【分析】由圆的方程为求得圆心、半径为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
【解答】解：圆的方程为：
圆心、半径为：1
根据题意，若四边形面积最小
当圆心与点的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，
切线长，最小
圆心到直线的距离为


故答案为：
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．
10．过点作圆的弦，其中最短的弦长为　　．
【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．
【解答】解：根据题意得：圆心，半径，
，在圆内，
圆心到此点的距离，，
最短的弦长为．
故答案为：
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．
11．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为　或　．
【分析】求出圆心到直线的距离，由直线被圆截得的弦长为，得，由此能求出直线的倾斜角．
【解答】解：圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为，
，
解得，
直线的倾斜角为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．直线被圆所截得的弦长等于　　．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．
【解答】解：圆的圆心坐标，半径为5，
圆心到直线的距离为：，
因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，
所以直线被圆所截得的弦长为：．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．
13．在平面直角坐标系中，圆，圆．若存在过点的直线，被两圆截得的弦长相等，则实数的取值范围　　．
【分析】根据弦长相等得有解，即，可解得．
【解答】解：显然直线有斜率，设直线，即，
依题意得有解，即，
，所以消去可得
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题．
14．在平面直角坐标系中，点，是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为　4　．
【分析】本题可利用中点去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据，得到点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．
【解答】解：设，，，，中点．
，，
，，
圆，
，圆心，半径．
点，在圆上，，
，
即．
点在以为圆心，半径的圆上．
．
，，
的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用中点去研究，先通过坐标关系，将本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用中点去研究，先通过坐标关系，得到点的轨迹，由图形的几何特征，求出结果．
15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 　，　．
【分析】曲线即，表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线的距离等于半径2，解得．结合图象可得的范围．
【解答】解：如图所示：曲线，即，
平方可得，，
表示以为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线的距离等于半径2，可得，，或．
结合图象可得，
故答案为：，．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．设点是函数图象上任意一点，点，，则的最小值为　　．
【分析】将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．
【解答】解：由函数，得，，
对应的曲线为圆心在，半径为2的圆的下部分，
点，
，，消去得，
即在直线上，
过圆心作直线的垂线，垂足为，
则．
故答案为：．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．
17．已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆的标准方程为　　．
【分析】利用圆心，半径（圆心和点的距离）、半弦长、弦心距的关系，求出圆心坐标，然后求出圆的标准方程．
【解答】解：由题意，设圆心坐标为，则由直线被该圆所截得
的弦长为得，，解得或，
又因为圆心在轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为，
又已知圆过点，所以所求圆的半径为2，故圆的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．
18．已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为　2　．
【分析】先求圆的半径，四边形的最小面积是2，转化为三角形的面积是1，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．
【解答】解：圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是2，
的最小值是切线长）

圆心到直线的距离就是的最小值，
，
故 答案为：2

【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
19．已知圆，点，直线与圆交于，两点，点在直线上且满足．若，则弦中点的横坐标的取值范围为　，　．

【分析】由题意可得，为线段的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得，由垂径定理可得，所以，设，求得的轨迹方程，考虑在圆内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围．
【解答】解：点在直线上且满足．
可得，为线段的三等分点，
先证明在三角形中，为边上的中线，即，
可得
，
则，
在三角形中，可得，
，
则


即，
即，
所以，
设，可得，
化为，
可令，联立可得，解得，
所以由在圆内，可得的横坐标，．
故答案为：，．


【点评】本题考查直线和圆的位置关系，注意运用垂径定理，考查三角形的中线长的定理的运用，以及动点的轨迹方程的求法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
20．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为　　．
【分析】化圆的方程为为标准方程，求出圆心和半径，然后解出、，可求四边形的面积．
【解答】解：圆的方程为化为．
圆心坐标，半径是5．最长弦是直径，最短弦的中点是．
，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，圆的标准方程，是基础题．
21．已知，，且满足，则的最小值是　　．
【分析】把已知等式变形，令，，则，把转化为含有，的式子，再由基本不等式求最值．
【解答】解：由，得，
令，，则．
．①
当且仅当，即，
联立，解得或，说明①中“”成立．
的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查曲线与圆的位置关系，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属难题．
22．圆上的点到直线的距离的最大值是　　．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，求出即为所求的距离最大值．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，
所以圆心坐标为，圆的半径，
所以圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离最大值为．
故答案为：
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．
三．解答题（共6小题）
23．已知，圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，
（1）当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，让等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值；
（2）联立圆和直线的方程，消去后，得到关于的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出的长度，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【解答】解：将圆的方程配方得标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为2．
（1）若直线与圆相切，则有．解得．
（2）联立方程并消去，
得．
设此方程的两根分别为、，
所以，
则
两边平方并代入解得：或，
直线的方程是和．
另解：圆心到直线的距离为，
，可得，
解方程可得或，
直线的方程是和．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
24．如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．
（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线的方程为．将圆心代入方程易知过圆心．
（Ⅱ）过的一条动直线．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离．从而解得斜率来得出直线的方程为．
（Ⅲ）同样，当与轴垂直时，要对设，进行验证．当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定的代数表达式，再讨论是否为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，故，
所以直线的方程为．
将圆心代入方程易知过圆心．（3分）
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；（4分）
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，
所以．由，解得．
故直线的方程为或．（8分）
（Ⅲ）当与轴垂直时，易得，，
又则，，故．即．（10分）
当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得．
则，，
即，．
又由得，
则．
故．
综上，的值为定值，且．（14分）
另解一：连接，延长交于点，由（Ⅰ）知．又于，
故．于是有．
由，得．
故．（14分）
另解二：连接并延长交直线于点，连接，，由（Ⅰ）知，又，
所以四点，，，都在以为直径的圆上，
由相交弦定理得．（14分）
【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．
（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．
（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．
25．已知关于，的方程．
（1）若方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若圆与直线相交于，两点，且，求的值．
【分析】（1）根据圆的一般方程的条件列不等式求出的范围；
（2）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．
【解答】解：（1）若方程表示圆，
则，
解得．
（2）圆心到直线的距离，
圆的半径，
，解得．
【点评】本题考查了圆的一般方程，属于基础题．
26．已知圆的圆心为，直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．
【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【解答】解：（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
故的方程为：或．
【点评】本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
27．已知点及圆．
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过点的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分两种情况：当直线的斜率存在时，设出直线的斜率为，由的坐标和设出的写出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出到直线的距离，让等于1列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，利用求出的和写出直线的方程即可；当直线的斜率不存在时，得到在线的方程，经过验证符合题意；
（2）由利用两点间的距离公式求出圆心到的距离，再根据弦长的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距，发现与相等，所以得到为的中点，所以以为直径的圆的圆心坐标即为的坐标，半径为的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去得到关于的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的存在，由直线垂直平分弦得到圆心必在直线上，根据与的坐标即可求出的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为，即可求出直线的斜率，进而求出的值，经过判断求出的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的不存在．
【解答】解：（1）设直线的斜率为存在）则方程为．
又圆的圆心为，半径，
由，解得．
所以直线方程为，即；
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件；
（2）由于，而弦心距，
所以，所以为的中点，
所以所求圆的圆心坐标为，半径为，
故以为直径的圆的方程为；
（3）把直线即．代入圆的方程，消去，整理得．
由于直线交圆于，两点，
故△，即，解得．
则实数的取值范围是．
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，
而，
所以．
由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．
28．已知直线与圆相交于、两点，是坐标原点，三角形的面积为．
（Ⅰ）试将表示成的函数，并求出它的定义域；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时的值．
【分析】（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．
【解答】解：（Ⅰ）直线方程，原点到的距离为，
弦长，
面积
，，
且，
（Ⅱ） 令，则，

．
当时，时，．
【点评】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变，属于中档题．