中考数学二轮专项训练专题06锐角三角函数与解三角形含解析答案

这是一份中考数学二轮专项训练专题06锐角三角函数与解三角形含解析答案，共46页。试卷主要包含了如图，是的外接圆，CD是的直径，的值是，如图，A、B分别为反比例函数等内容，欢迎下载使用。
专题06�锐角三角函数与解三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（    ）

A． B． C． D．
2．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
3．如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（    ）

A． B．2 C． D．
5．的值是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝（　　）

A． B． C． D．
7．如图，A、B分别为反比例函数（x＜0），y＝（x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（　　）

A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则∠OAB的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝105°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
10．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：，）

A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（　　）

A． B． C． D．
12．下列说法中正确的是（    ）
A． B．若为锐角，则
C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则
13．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC′，DC′与AB交于点E，连接BC′，若BD＝BC′＝2，AD＝3，则△ADE的面积为（　　）

A． B． C． D．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为（      ）

A． B． C． D．
15．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ）

A．13m B．8m C．18m D．12m
16．如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，M是对角线AC上的一个动点，直线BM与直线AD交于点E，过A作AH垂直BE于点H，直线AH与直线BD交于点N，连接EN、OH，则下列结论：①BM＝AN；②OH平分∠MHN；③当EN∥OM时，BN2＝DN•DB；④当M为AO中点时，＝，正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

评卷人
得分



二、填空题
17．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则 ．

18．如图，在中，，D是上一点（点D与点A不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ．

19．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．

20．如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则 ．

21．计算： ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC= ．

23．已知α、β为锐角，若，，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（α+β）＝ ．

24．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若，，则DF的长为 ．

25．如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan∠AGE＝，BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为 ．

26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接BE交AD于F，将△AFE沿若AC翻折到△AGE，若四边形AFEG恰好为菱形，连接BG，则tan∠ABG= ．


评卷人
得分



三、解答题
27．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）

28．小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

29．如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为．

（1）风筝离地面多少m？
（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）
30．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼的高度．（结果保留整数，，）
31．计算：（﹣1）2022＋﹣4sin45°＋|﹣2|．
32．计算：．
33．图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．

(1)求图中B到一楼地面的高度．
(2)求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．
34．如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，经测量，，．当，转动到，时，求点到的距离．（结果保留小数点后一位）
参考数据：，，，，，，．

35．如图，在Rt△ABC中，，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．

(1)求证：AE平分∠BAC；
(2)若，求的值．
36．如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)三点．点D为抛物线的顶点．连接AC，BC，CD，BD．

(1)求抛物线的解析式和D点坐标；
(2)求证：AOC∽DCB；
(3)如图1，延长AC，BD相交于点E，求tan∠AEB的值．
(4)如图2，点P为抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PM⊥直线CD，垂足为M，当PM最大时，请直接写出此时点P的坐标．
37．已知△ABC中，F、D分别为边AC、BC上的点，过点F、D分别作AC、BC的垂线交于一点I且IF＝ID．

(1)求证：FC＝DC；
(2)如图1，IA为△ABC的角平分线，点F为AC中点，当AF＝2，BD＝4时，求sin∠BAC的值；
(3)如图2，若过点I作IG⊥AB于点G，且IG＝IF＝GA＝2，∠B＝30°，求△ABC的周长．

参考答案：
1．A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
2．A
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．
故选择：A．
【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
3．A
【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面积为5，
∴，
∵，
∴，即，化简得：，
解得：或，
当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；
∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=BC=6，
∴AD=，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵

∴，即：，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．
5．C
【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键．
6．B
【分析】连接AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，由tan∠ADC＝tan∠ABC求出答案．
【详解】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝，
故选：B．
．
【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，求角的正切值，熟记圆周角定理及角的正切值公式是解题的关键．
7．A
【分析】如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，，求出的值，根据即可求出角的正切值．
【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D

则∠BDO＝∠ACO＝90°
∵A、B分别为反比例函数（x＜0），（x＞0）图象上的点
∴S△AOC＝4，S△BDO＝9
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°
∴∠DBO＝∠AOC
∴△BDO∽△OCA
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．
8．D
【分析】先求得点A、B的坐标，表示出OA、OB的长，利用勾股定理求得AB的长，即可求得∠OAB的余弦值．
【详解】解：令x=0，y=b，令y=0，x=，
∴点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(0，b)，
∴OA=、OB= b，
∴AB＝=，
∴=，

故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，解直角三角形，求得AB的长度的解题的关键．
9．C
【分析】连接，根据这特可知，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积等于求解即可．
【详解】连接，如图，

将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，

又
是等边三角形，

∠AOB＝105°，




半径OA＝6



阴影部分面积等于


故选C．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AD=5（千米），再由锐角三角函数定义求出PD、BD的长，即可得出答案．
【详解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=，
∴AD=AP=×10=5（千米），PD=AP•cos30°=10×=5（千米），
在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=，
∴BD=PD•tan45°=5×1=5（千米），
∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5（千米），
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
11．D
【分析】根据锐角三角函数的正弦值进行求解即可．
【详解】解：由题意知
故选D．
【点睛】本题考查了正弦．解题的关键在于明确直角三角形中角的正弦值等于对边与斜边的比值．
12．B
【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．
【详解】A、，故说法不正确；
B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确；
C、当β=60°时，，则，故说法不正确；
D、当α=45°时，，故说法不正确；
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．
13．B
【分析】连接 ，过点A作AG⊥BC于点G，作EH⊥BC于点H，由翻折得DC=DC'，可证明BD=BC′=DC'，从而得△BDC'为等边三角形，求出，设，则EH=，，，再证明得代入相关数据得，再根据可求解．
【详解】解：连接，过点A作AG⊥BC于点G，作EH⊥BC于点H，如图，

∵D是AC边上的中点，
∴BD=CD
∵BD＝BC′＝2，
∴BC′=BD= DC
由翻折知，△ADC≌△ADC'，
∴DC=DC'
∴BD=BC′=DC'
∴△BDC'为等边三角形
∴∠BDC'=∠BC'D=∠C'BC=60°，
∴
∵△ADC≌△ADC'，
∴∠ADC=∠ADC'= ，
∵，
∴
∵
∴设，则EH=DH×
又
∴
∵
∴EH//AG
∴
∴
∵
∴
解得，
∴
又，

∴
故选：B
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质，证明是解题的关键．
14．A
【分析】由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD．
又∵AE=DE=5，
∴CE=8-5=3，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE=，
∴sin∠BFD=．
故选：A．
【点睛】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．
15．A
【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度．
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，

∵坝高，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡的坡比为
∴BF=12cm，
在RtBCF中
BC=
=
=13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
16．C
【分析】由正方形的性质可证明△ADN≌△BAM，从而可得BM=AN，即可判断①正确；通过证明点A、B、O、H四点共圆，可得∠BAO＝∠BHO＝∠OHN=45°，可判断②正确；由点A，B，E，N四点共圆及已知易得△ABE≌△NBE，可得AE=EN，AB=BN，设AE=EN=DN=x，分别求出BN2，DN∙DB的值，可判定③错误；设OA＝BO＝a，利用勾股定理和锐角三角函数可求出AH，BM的长，可得，故可得④正确，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠ADB＝45°，AB＝AD，AC⊥BD，
∵AN⊥BE，
∴∠DAN+∠AEB＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DAN＝∠ABE，
∴△ADN≌△BAM（ASA），
∴BM＝AN，故①正确；
∵∠AHB＝∠AOB＝90°，
∴点A，点B，点O，点H四点共圆，
∴∠BAO＝∠BHO＝45°，
∴∠BHO＝∠OHN＝45°，故②正确；
∵EN∥OM，
∴∠DEN＝∠OAD＝45°＝∠ADO，∠END＝∠AOD＝90°，
∴EN＝DN，∠BAD＝∠BNE＝90°，
∴点A，点B，点E，点N四点共圆，
∴∠EAN＝∠EBN，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（AAS），
∴AE＝EN，AB＝BN，
设AE＝EN＝DN＝x，
∴DE＝x，
∴AD＝x+x＝AB＝BN，
∵BN2＝（x+x）2＝（3+2）x2，DN•DB＝x（x+x+x）＝（2+）x2，
∴BN2≠DN•DB，故③错误；
设OA＝BO＝a，
∵点M是AO中点，
∴AM＝OM＝a，
∴BM＝＝＝a，
∵点A，点B，点O，点H四点共圆，
∴∠OAN＝∠OBM，
∴cos∠OBM＝cos∠OAN＝，
∴＝，
∴AH＝a，
∴＝，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，四点共圆，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．
17．
【分析】作出如图所示的辅助线，利用SAS证明△ADH△ABF以及△EAF△EAH，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明△BAF△OAG，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=BF=2，连接EH、AH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADH=∠ABC=∠ABF=90°，AD=AB，∠BAC=∠DAC=45°，
∴△ADH△ABF(SAS)，
∴∠DAH=∠BAF，AH=AF，
∵∠EAF=45°，即∠BAF+∠EAB=45°，
∴∠DAH+∠EAB=45°，则∠EAH=45°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
∴△EAF△EAH (SAS)，
∴EF=EH，
∵，
设BE=a，则AB=2a，EC=a，CH=2a-2，EF=EH=a+2，
在Rt△CEH中，,即，
解得：，
则AB=AD=6，BE=EC=3，
在Rt△ABE中，,
∴AE=3，
同理AF=2，
AO=AB=3，
∵BE∥AD，
∴，
∴AG=2，
∴，，
∴，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠OAG，
∴△BAF△OAG，
∴，
∵∠GAF=∠OAB=45°，
∴△GAF是等腰直角三角形，
∴FG= AG=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．
18．＜AD＜2
【分析】以AD为直径，作与BC相切于点M，连接OM，求出此时AD的长；以AD为直径，作，当点D与点B重合时，求出AD的长，进入即可得到答案．
【详解】解：以AD为直径，作与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，

∵在中，，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴，
设OM=x，则AO=x，
∴，解得：，
∴AD=2×=，
以AD为直径，作，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，
∴在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是：＜AD＜2．
故答案是：＜AD＜2．

【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
19．
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
20．6
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】解： 是边的中点，，



矩形，



故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
21．-1
【分析】将各特殊角三角函数值代入计算即可得到答案．
【详解】解：

=
=
=-1
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊锐角三角函数值是解答本题的关键．
22．9
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．
23．2
【分析】先证明，，得到tan（α+β）=tan，利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，进一步计算即可求得答案．
【详解】解：如图，

BD=2，AD=1，BE=4，CE=3，
∴，，
∴，，
∴tan（α+β）=tan，
∵AB=，AC=，BC=，
，
∴,
∴△ABC是直角三角形，且90°，
∴tan（α+β）=tan==2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．/
【分析】先求解 再求解 再证明可得从而可得答案.
【详解】解： 矩形ABCD，，，



由作图可得：平分








故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的作图的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键.
25．10
【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD≌△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．

由题意，EF垂直平分线段BD，
∴EB=ED，BG=GD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
∵∠EGD=∠FGB，
∴△EGD≌△FGB（ASA），
∴BF=DE=8，EG=FG，
∵DB⊥EF，
∴PE=PF，
∴PF+PC=PE+PC≥EC，
∵∠BAE=∠BGE=90°，OB=OE，
∴OA=OB=OE=OG，
∴A，B，G，E四点共圆，
∴∠ABE=∠AGE，
∴tan∠ABE=tan∠AGE==，
设AE=k，AB=3k，
∵AB2+AE2=BE2，BE=DE=8，
∴（k）2+（3k）2=82，
∴k=2，
∴AB=CD=6，
∵∠EDC=90°，
∴EC==10，
∴PF+PC≥10，
∴PF+PC的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强．
26．/
【分析】过点G作GH⊥AB，交BA延长线于H，设AE=x，则AC=2x，由菱形的性质得出AF=EF，再证AF=BF=EF与△BAE∽△CAB，求出AB=x，BE=x，AF=EF=x，然后由菱形性质得AG=BE，证△BAE∽△AHG，求出AH=x，HG=，最后由锐角三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：过点G作GH⊥AB，交BA延长线于H，如图所示：

设AE=x，则AC=2x，
∵四边形AFEG为菱形，
∴AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠BAE=90°，
∴∠FAE+∠FAB=∠FEA+∠FBA=90°，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
∴AF=BF=EF，
∵∠FBA+∠AEB=90°，∠FAB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠AEB，
又∵∠BAE=∠BAC=90°，
∴△BAE∽△CAB，
∴，
∴AB2=AE•AC=2x2，
∴AB=x，
∴BE=，
∴AF=EF=x，
∵四边形AFEG是菱形，
∴AG∥BE，AG=AF=BF=EF，
∴∠HAG=∠ABE，AG=BE，
又∵∠H=∠BAE=90°，
∴△BAE∽△AHG，
∴，
∴AH=AB=x，HG=AE=，
∴BH=AH+AB=x+x=x，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，作辅助线并证明△BAE∽△AHG是解题的关键．
27．96米
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
28．
【分析】作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】解：如图，作于E，于F，

，
四边形BCFE是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．
29．（1）50；（2）128.6
【分析】（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度；
（2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得．
【详解】（1）如图，过作


m，
风筝离地面50m
（2）




相距128.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．
30．米．
【分析】利用俯角定义，结合正弦、正切的定义、含30°角的直角三角形的性质，分别解得的长，再计算AD的长即可．
【详解】解：在中，





中，



（米）
答：万楼主楼的高度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及俯角问题、含30°角的直角三角形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
31．3
【分析】先计算乘方、化简平方根、计算特殊角的三角函数值、去绝对值，再进行合并即可．
【详解】原式

．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键．
32．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】原式＝
＝．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
33．(1)图中B到一楼地面的高度为
(2)日光灯到一楼地面的高度为

【分析】（1）过点作于、交于，过点作于，过点作于、交于，如图（2）所示：则，四边形、四边形是矩形，，，，，设，的坡度为，在中，由勾股定理得：，解得：，即可求得；
（2）由（1），得出，在中，利用，求出，求出．
(1)
解：过点作于、交于，过点作于，过点作于、交于，如图（2）所示：

则，四边形、四边形是矩形，，
，，，
设，
的坡度为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
答：图中B到一楼地面的高度为；
(2)
解：，
，
在中，，
，
，
，即日光灯到一楼地面的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、解直角三角形的应用坡度坡角问题、勾股定理、锐角三角函数定义、矩形的判定与性质的知识，解题的关键熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
34．点到的距离为6.3cm
【分析】过点作于点，延长交于点，过点作于点，根据，可求出BD的长度，根据三个内角之和为180°可知，，进而根据可求出CN的长度，进而根据，可求出CM的长度．
【详解】过点作于点，延长交于点，过点作于点，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，  
在中，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
答：点到的距离为6.3cm．

【点睛】本题考查三角函数的应用，三角形的内角和，能够添加合适的辅助线是解决本题的关键．
35．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEB=90°，进而得到OE//AC，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，根据角平分线的定义证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠AED=90°，证明△DAE∽△EAC，根据相似三角形的性质得到，根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接OE，

∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE//AC，
∴∠OEA=∠EAC，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OAE=∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠OAE=∠EAC，∠C=90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠DAE=∠BAC=30°，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到OE⊥BC是解题的关键．
36．(1)y＝x2﹣2x﹣3，(1，﹣4)
(2)见解析
(3)1
(4)(，﹣)

【分析】（1）先由点A和点B的坐标设二次函数的交点式，然后代入点C的坐标求得二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式求得点D的坐标；
（2）由点A、B、C、D的坐标求得OA、OC、AC、BC、BD、CD的长，然后证明三角形相似；
（3）先求得直线AC和直线BD的解析式，然后求得点E的坐标，进而求得AE和BE的长，过点B作BF⊥AE于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，然后利用等面积法求BF得长，进而利用勾股定理求得EF的长，最后求得tan∠AEB的值；
（4）先求直线BC的解析式，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，然后设点P的坐标，得到点H的坐标，从而得到PH的长度，再利用等面积法求得PM的长度，最后利用二次函数的性质求得PM最大时，点P的坐标．
【详解】（1）由抛物线经过点A（﹣1，0）和B（3，0）设y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得，﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，BC＝=3，BD＝ =2，CD＝，
∴，
∴△AOC∽△DCB；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，
设直线BD的解析式为y＝mx+n，则
3m+n=0m+n=−4，解得：，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣6，
联立y＝﹣3x﹣3和y＝2x﹣6得，
，解得：，
∴点E的坐标为（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AE＝，BE＝，AB＝4，
如图1，过点B作BF⊥AE于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，则EG＝，
∵S△ABE＝，
∴，
解得：BF＝，
∴EF＝＝，
∴tan∠AEB＝＝1；
（4）设直线BC的解析式y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
如图2，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，连接PC，PB，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点H的坐标为（x，x﹣3），
∴PH＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PM⊥直线CD，
∴S△PBC＝，
∴×3×PM＝×（﹣x2+3x）×3，
∴PM＝﹣＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PM最大＝，
此时，点P的坐标为（，﹣）．

【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、相似三角形的判定定理、解直角三角形、等面积法求高，解题的关键是会用等面积法求三角形的高．
37．(1)见解析．
(2)．
(3)．

【分析】（1）由题意得，，又由，，可证得，即可得出结论．
（2）由为的角平分线得到，又，点F为AC中点，则垂直平分，得，所以，由得，得到，故为等腰三角形，B、I、E三点共线，连接BI.，在中，，由勾股定理得到的长，即可求得sin的值．
（3）连接，，由，且，得到平分，由，得，则，进一步得到四边形AGIF是正方形，，，，在中，可求，进而求得的长，进一步求得、的长，即可求得的周长．
【详解】（1）证明：由题意得到，
∴
在和中，
∵  

∴（）
∴
（2）解：如图3，连接，

∵为的角平分线
∴
∵，点F为AC中点
∴垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴
∴为等腰三角形
∴B、I、E三点共线
在中，



由勾股定理得

∴sin
故答案为：．
（3）
如图4，连接，，
∵，且
∴平分
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴四边形 AGIF是正方形
∴
∵
∴
∵，且
∴平分
∴
在中，

∴
∴
在中，，

∴

∴的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形、正方形等相关知识，综合性较强，熟练掌握几何知识的综合应用是解题的关键．