中考数学二轮专项训练专题09相似三角形含解析答案

这是一份中考数学二轮专项训练专题09相似三角形含解析答案，共60页。试卷主要包含了下列四条线段中，成比例的是，若且相似比为1等内容，欢迎下载使用。
专题09�相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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一、单选题
1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
2．下列四条线段中，成比例的是（　 　）．
A．a=1，b=2，c=3，d=4 B．a=1，b=2，c=3，d=6
C．a=2，b=3，c=4，d=7 D．a=3，b=2，c=5，d=4
3．2022年即将到来，一年一度的“元旦汇演”即将拉开帷幕，若“元旦汇演”的舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（    ）
A．2.5米 B．2.9米 C．3.0米 D．3.1米
4．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．如图，在△ABC中，，，，，则AB的值为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．12
6．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
7．若且相似比为1：4，则与的面积比为（    ）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
8．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（      ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
9．如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连结交于点G，则（    ）

A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
11．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（    ）

A．14cm B．16cm C．25cm D．32cm
12．如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DEBC，EFAB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
13．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（    ）
A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=6，D，E分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，若为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
15．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④．
其中正确的结论（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④

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二、填空题
16．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）

17．如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．

18．如图，点D在的边上，要判定与相似，则需要添加一个条件是 ．

19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝BE，DF＝3CF，连接EF、BD交于点O，则△BEO与△ODF的面积比为 ．

20．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．

21．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为 ．
22．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：CD＝1：3，AC＝2，则BD的长为 ．

23．如图，点B、C是线段AD上的点，ABE、BCF、CDG都是等边三角形，且AB=12，BC=18，已知ABE与CDG的相似比为2：5．
则：①CD= ；
②图中阴影部分面积为 ．

24．如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且，沿直线EF翻折，点A的对应点恰好落在对角线AC上，点B的对应点为；分别在线段EF，上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．

25．如图，在中，M、N分别为AC，BC的中点．若， ．

26．矩形纸片ABCD中，，，将纸片折叠，使点B落在边CD上的处，折痕为AE．延长交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的是 ．
①；②；③；④；⑤若，则．

27．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，点D在斜边AB上，连接CD把△ACD沿直线CD翻折，使点A落在同一平面内的点A′处．当A′D与Rt△ABC的直角边垂直时，AD的长为 ．

28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AD=5，BD=4，那么BC= ．

29．如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM．其中正确的是 ．（只填序号）


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三、解答题
30．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．

（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
31．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G．

(1)若AC＝EC时，求∠DAE的大小；
(2)求证：AG2＝GF•GE；
(3)连DE，求的最小值．
32．在如图所示的方格中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(﹣2，﹣1)、B(﹣1，﹣3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．
33．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．

(1)在坐标系中面出关于y轴的对称图形；
(2)在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；
(3)求出的面积．
34．如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，1），（3，﹣1），
（1）以点O为位似中心，将△OAB放大为原来的两倍，画出图形；
（2）A点的对应点A'的坐标是 　 　；B点的对应点B′的坐标是 　 　；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标是 　 　．

35．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．

36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=6，DE=5，求⊙O的直径．
37．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是___________．
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是___________．
38．如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．

(1)以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
39．如图，在和中，，平分．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
40．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点，．

(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；
(2)连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由
(3)点F是反比例函数的图象上的一点，且使得，求直线EF的函数关系式．
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝14cm，AD＝12cm，E是CD边上的一点，DE＝9cm，M是BC边的中点，动点P从点A出发．沿边AB以1cm/s的速度向终点B运动，过点P作PH⊥AE于点H，连接EP．设动点P的运动时间是t（s）（0＜t＜14）．

(1)当t为何值时，PM⊥EM？
(2)设△EHP的面积为y（cm2），写出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式．
(3)当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值．
(4)是否存在时刻t，使得点B关于PE的对称点B'落在线段AE上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
42．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

(1)如图1，当α=0°时，______，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为______；
(2)将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出△ABA1面积的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
43．如图，点C(0，)（a＜0）是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接OA、OB，设点A的横坐标为m（m＜0）．

(1)若点A的坐标为(﹣4，﹣2)，求点C的坐标；
(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并证明：∠AOB＝90°；
(3)若AC：BC＝1：k（k＞1），问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？试说明理由．

评卷人
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四、未知

参考答案：
1．A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；
B、1×6＝2×3，所以B选项符合题意；
C、2×7≠3×4，所以C选项不符合题意；
D、2×5≠3×4，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．D
【分析】由黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，
离舞台前沿较近的距离为：（米，
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：解题的关键是掌握如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
4．C
【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案．
【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型．
5．D
【分析】根据平行线分线段成比例的推论可得，代入数据求解即可．
【详解】∵在ΔABC中，，
∴，即
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应边建立比例式．
6．C
【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得OB，从而可知OA的长，进而可知的值，由，设，根据的值列出关于m的方程，解得m的值，则可得点C的坐标．
【详解】解：
即









由勾股定理可得
即


如图，过点C作CD轴于点D

设




解得
经检验，是原方程的解
点C的坐标为
故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
7．C
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
8．A
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB=∠APC=65°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．
9．B
【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵点F是BC的中点，
∴，
∵，

∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
10．B
【分析】根据等腰三角形的性质可知，根据相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质定理即可求出的长度．
【详解】解：，
，
由题意可知：，
，
，
设，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
11．B
【分析】如图，过作于 过作于再利用相似三角形的对应高之比等于相似比列方程，再解方程即可.
【详解】解：如图，过作于 过作于

由小孔成像原理可得：
而

所以（cm），经检验符合题意.
故选B
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应高之比等于相似比”是解本题的关键.
12．B
【分析】根据已知条件证明．相似三角形面积比等于相似比的平方可得，设，则，．再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
【详解】解：，，
，，，
，
．
，
而，，
，
设，则，．
则，
设；
，
，
，
即，
解得：，
即四边形的面积为8．
故选：B．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
13．C
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：C．
【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
14．B
【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，可得∠DEA＝∠DE ＝90°，AE＝E，所以，△ACB∽△AED，为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
【详解】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，
∴∠DEA＝∠DE ＝90°，AE＝E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE＝E＝C＝AC，
∴，
即，
∴ED＝2
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．
15．D
【分析】如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM＝CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．
【详解】解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，

∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．．
∴∠BAM＝∠BCE＝90°，
∴∠MAF＝180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，
∴AB＝3x，CE＝1.5x，
∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，
∴EF＝MF．
∵在△EFB和△MFB中，
，
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF＝∠MBF．
∵∠MBF＝∠2+∠3，
∴∠MBF＝∠1+∠3，
∴∠EBF＝∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，
∴∠EBF＝45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB＝∠BPG＝90°，
∴∠BFP＝45°，
∴∠BFP＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF＝，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB＝，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE＝，
∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，
∴△BPG∽△BCE，
∴，
∴，
∴PG＝，BG＝2.5x．
∴GC＝0.5x．
∵，
∴△HPG∽△DPF，
∴，
∴，
∴GH＝x，
∴HC＝1.5x，
∴2HC＝3x，
∴2HC＝BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB＝2CE，
∴2HC＝2CE，
∴HC＝CE，
在△BCE和△DCH中，
，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1＝∠4．
过点E作交AD于Q，交BC的延长线于R．
∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．
∴∠7+∠8＝90°．
∵∠1+∠7＝90°，
∴∠1＝∠8．
∵∠8＝∠9，
∴∠1＝∠9，
∴∠4＝∠9．
如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取的中点 连接


∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠5．
∴∠9＝∠5，
∴∠DEF＝2∠5，
即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，
，
∴△BHP≌△DEP（AAS），
∴S△BHP＝S△DEP．
作PS⊥BC于S，
∴S△BHP＝，S△PHG＝．
∴S△BHP＝，S△PHG＝，
∴，故④正确．
∴①②③④都是正确的．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．
16．
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件，


故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．6
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．
18．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理，已知，进而再找一对相等的角即可
【详解】，

故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理解题的关键．
19．/
【分析】由条件证明，得到，再由AE＝BE，DF＝3CF，AB=DC得到，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，AB=DC
∴∠EBO=∠FDO
又∵∠EOB=∠FOD
∴
∴
又∵AE＝BE，DF＝3CF
∴,
又∵AB=DC
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，平行四边形的性质，根据定理内容解题是关键．
20．
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
21．4
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．

【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
22．4
【分析】根据OC：CD＝1：3，求得OC：OD＝1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．
【详解】∵OC：CD＝1：3，
∴OC：OD＝1：2，
∵△AOC∽△BOD，
∴，
即，
解得：BD＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
23．
【分析】①证明∽，再利用相似三角形的性质可得答案；
②如图，设与、分别相交于点、，先证明，再证明∽，可得．，，再求解，从而可得答案.
【详解】解：①、都是等边三角形，
∽，
，即，
解得；
②如图，设与、分别相交于点、，

，
．
．
又，
．
．
．
，
．
∽．

．
∽．
，即，
解得，
所以，．
，
，
，
即阴影部分面积为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了相似三角线的判定与性质，等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点判断出得到直角三角形．
24．
【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．证明△FTE∽△ADC，求出ET=1，EF=，设A′N=x，根据NF=NE，可得12+（3-x）2=22+x2，解方程求出x，可得结论．
【详解】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．

∵四边形ABFT是矩形，
∴AB=FT=3，BF=AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=9，∠B=∠D=90°
∴AC=，
∵∠TFE+∠AEJ=90°，∠DAC+∠AEJ=90°，
∴∠TFE=∠DAC，
∵∠FTE=∠D=90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴，
∴，
∴TE=1，EF=，
∴BF=AT=AE-ET=2-1=1，
设A′N=x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF=NE，
∴12+（3-x）2=22+x2，
∴x=1，
∴FN=，
∴MN=，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．6
【分析】先根据三角形中位线定理可得,，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，
∴MN是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
26．①②③⑤
【分析】①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90º，再证∠M=∠CB'E=∠B'AD即可；②借助轴对称可知；③利用计算，勾股定理求B′D，构造方程，求EB，在构造勾股定理求MB′=；④由相似CB'：BM=CE：BE，BM=，在计算B'M>5；⑤证△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再证菱形即可．
【详解】解：①连结AB′，由折叠性质知∠ABE=∠AB'E=90º，

∴∠CB'E+∠AB'D=90º，
∵∠D=90º，
∴∠B'AD+∠AB'D=90º，
∴∠CB'E=∠B'AD，
∵CD∥MB，
∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；
故①正确
②点P在对称轴上，点B与点B′是对称点，
则B'P=BP；
故②正确；
③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，
由勾股定理DB'==3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x=B'E，CE=4-x，
在Rt△B′CE中，∠C=90º，
由勾股定理（4-x）2+22=x2，
解得x=，
∴CE=4-=，
在Rt△ABE中，∠ABE=90º，
AE=；
故③正确；

④过M作MF⊥DC，交DC延长线于F，
由BM∥CB′，
∴△ECB′∽△EBM，
∴CB'：BM=CE：BE，
∴2：BM=：，
∴BM=，
∴FB′=FC+CB′=，MF=BC=4，
则B'M=>5=CD；
故④不正确；
⑤连接BB′，由对称性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，
∵，
∴∠DB′P=90°=∠C，
∴BE∥B′P，
∴∠EBG=∠PB′G，
在△BEG和△B′PG中，
，
∴△BEG≌△B′PG（ASA），
∴BE=B′P，
∴四边形BPB′E为平行四边形，
又BE=EB′，
∴四边形BPB′E是菱形，
∴PB′=B'E．
故⑤正确．

五个结论中正确的是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换，相似三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，拓展一元一次方程，平行线性质，菱形的判定与性质等知识的应用，此题的关键是能够发现△BEG≌△B′PG．
27．或/或1
【分析】根据勾股定理可得：，分两种情况进行讨论：①当时，由平行线及折叠的性质可得：，，依据相似三角形的判定和性质可得，，得出，再利用一次相似三角形的判定和性质可得；②当时，，根据等腰三角形的判定和性质及平行线的性质可得出结果．
【详解】解：在中，，，
∴，
①如图所示，当时，

∵把沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的处，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴；
②如图2，当时，，

∵把沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：AD的长为1或，
故答案为：1或．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及折叠的性质等，理解题意，进行分类讨论作出相应图形是解题关键．
28．6
【分析】证明△BDC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BCA，
∵∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴，即，
解得：BC=6(负值已舍)，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．①③④⑤
【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN=EN，故①正确；由直角三角形的性质可得AN=NE，即可得AO>OE，故②错误；通过证明△ABF∽△ECD，可得∠CED=∠FBG，作FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出tan∠FAG，可求tan∠CED=，故④正确；根据三角形的面积公式计算，可判断⑤，设BM=2x，MC=4x，可求MN=x，CN=3x，可得CN：MN：BM=3：1：2，故③正确；即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=BE，
∴AB=CD=BE，
∵AB//CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴，
∴CN=BN，DN=EN，故①正确；
如图，连接AN，

∵DN=NE，∠DAE=90°，
∴AN=NE，
∵AO>AN，NE>OE，
∴AO>OE，故②错误；
∵∠CBE=90°，BC=BE，F是CE的中点，
∴∠BCE=45°，BF=CE=BE，FB=FE，BF⊥EC，
∴∠DCE=90°+45°=135°，∠FBE=45°，
∴∠ABF=135°，
∴∠ABF=∠ECD，
∵，
∴△ABF∽△ECD，
∴∠CED=∠BAF，
如图，作FG⊥AE于G，则FG=BG=GE，

∴，
∴tan∠FAG=，
∴tan∠CED=，故④正确；
∵tan∠FAG=，
∴，
∴，
∴，
∵F是CE的中点，
∴S△FBC=S△FBE，
∴S四边形BEFM=2S△CMF，故⑤正确；
∵，
∴设BM=2x，MC=4x，
∴BC=6x，
∴CN=BN=3x，
∴MN=x，
∴CN：MN：BM=3：1：2，故③正确；
故答案为：①③④⑤．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
30．（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示

（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】题目主要考查位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
31．(1)22.5°；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）根据正方形的性质∠DAC=45°，AD∥BC，再根据平行线的性质和等边对等角证得∠DAE=∠CAE即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例和比例性质即可证得结论；
（3）如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P，根据相似三角形的判定与性质证明△PDA∽△CDE，△PDC∽△ADE，证得，取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=AD，设PO=x，则AD=DC=2x，CO=x，根据两点之间线段最短求得PC的最大值即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AD∥BC，CD∥AB，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DCE=90°，
∴∠DAE=∠E，
∵AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC=22.5°；
（2）证明：∵AD∥BC，CD∥AB，
∴，，
∴，
∴AG2＝GF·GE；
（3）解：如图，作∠ADP=∠CDE，过点A作AP⊥DP于P，
∴∠APD=∠DCE=90°，又∠ADP=∠CDE，
∴△PDA∽△CDE，
∴，即，
∵∠ADP+∠ADC=∠CDE+∠ADC，
∴∠PDC=∠ADE，
∴△PDC∽△ADE，
∴，即，
取AD的中点O，连接PO、CO，则PO=DO=AD，
设PO=x，则AD=DC=2x，
∴CO= =x，
∵PC≤PO+CO=(1+)x，
∴PC的最大值为(1+)x，
∴的最小值为．

【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．
32．(1)见解析，P点坐标为（-5，-1），△O1A1B1与△OAB的位似比为2：1；
(2)见解析，点B2的坐标为（-2，-6）．

【分析】（1）延长B1B、A1A，它们的交点即为P点；
（2）延长OA到A2，使OA2=2OA，延长OB到B2，使OB2=2OB，则△OA2B2满足条件．
【详解】（1）如图，点P为所作，P点坐标为（-5，-1），△O1A1B1与△OAB的位似比为2：1；

（2）如图，△OA2B2为所作，点B2的坐标为（-2，-6）．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
33．(1)见解析
(2)见解析
(3)6

【分析】（1）根据纵不变，横相反，确定对称点的坐标，依次连接各点，得到所求三角形；
（2）根据位似比，确定坐标的绝对值，结合位置，确定坐标，依次连线，得到所求三角形；
（3）先计算，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可．
【详解】（1）∵的顶点坐标分别为、、，
∴各点关于y轴的对称点坐标依次为(0，2)，(-1，3)，(-2，1)，
画图如下：

则即为所求．
（2）∵的顶点坐标分别为、、，
∴位似比为2时的位似点坐标依次为(0，-4)，(-2，-6)，(-4，-2)，
则即为所求．画图如下：

（3）∵=，位似比为2，
∴．
【点睛】本题考查了关于y轴对称，位似作图，位似比的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
34．（1）图见解析；（2）或，或；（3）或．
【分析】（1）分①放大后的图形在左侧，②放大后的图形在右侧两种情况，先分别将点的横纵坐标乘以2或得到点，再顺次连接点即可得；
（2）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得；
（3）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：（1）①当放大后的图形在左侧时，画图如下：

②当放大后的图形在右侧时，画图如下：

（2），
或，
即或，
故答案为：或，或；
（3），
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了画位似图形、点坐标与位似图形，正确分两种情况讨论是解题关键．
35．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．然后根据相似三角形的判定可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键．
36．(1)相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）连接DO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝BE，根据等边对等角可得∠ODC＝∠OCD，进而可得∠EDC＋∠ODC＝90°，即可证明直线DE与⊙O相切；
（2）勾股定理求得的长，进而证明△BCA∽△BDC，列出比例式，代入数值求解即可．
(1)
证明：连接DO，如图，

∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
(2)
由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝BC，
∴BC＝10，
∴BD＝＝＝8，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴，
∴，
∴⊙O直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握切线是性质与判定是解题的关键．
37．(1)见解析，（2，-3）
(2)见解析，（1，0）

【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）延长BA到A2，使BA2=2BA，延长BC到C2，使BC2=2BC，继而可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（2，-3），

故答案为：（2，-3）；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质．
38．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据题意在三角形ABC内作∠ADE＝∠B；
（2）根据（1）的结论可得∠ADE＝∠B，根据∠DAE＝∠BAC，证明△ADE∽△ABC，列出比例式，代入数值进行计算求解即可．
【详解】（1）
如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴DE＝．
【点睛】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAC＝∠DAC，再根据∠B＝∠ACD＝90°，即可得证△ABC∽△ACD．
（2）用勾股定理求得，再根据△ABC∽△ACD，可得，代入即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝4，AC＝5，
∴．
∵△ABC∽△ACD，
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质．
40．(1)，E（6，2）
(2)DE∥AC，DE＝AC，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据矩形，得到AB与x轴平行，与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可．
(2) DE∥AC，DE＝AC，理由为：由B（6，3），D（4，3），E（6，2），可得BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，继而可得△BDE∽△BAC，由相似的性质可证得DE∥AC，DE＝AC．
(3) 作AG⊥AE，交EF于点G，设 ，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，由，B（6，3），E（6，2），可得MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6，由已知条件可得∠AEG＝∠AGE＝45°，所以AG＝AE，再由同角的与角相等可证∠MGA＝∠NAE，继而利用AAS可证得△MGA ≌△NAE，可以求出G点坐标，点坐标已知，利用待定系数法可以求得解析式．
【详解】（1）解：∵（6，3），＝2
∴D（4，3）
∵y＝过点D（4，3）
∴k＝4×3＝12
∴反比例函数关系式为
∵B（6，3）
∴可设E（6，n），将点的坐标代入解析式，
∴n＝2
∴E（6，2）
（2）解：DE∥AC，DE＝AC，理由如下：

∵B（6，3），D（4，3），E（6，2），
∴BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，
∴
∵∠DBE＝∠ABC
∴△BDE∽△BAC  
∴，∠BDE＝∠BAC
∴DE∥AC    
∴DE∥AC，DE＝AC
（3）解：作AG⊥AE，交EF于点G，设 ，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，

∵B（6，3），E（6，2），
∴MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6，
∵∠AEF＝45°，∠EAG＝90°
∴∠AEG＝∠AGE＝45°
∴AG＝AE
∵∠MGA＋∠MAG＝90°，∠MAG＋∠EAN＝90°
∴∠MGA＝∠NAE
在△MGA和△NAE中

∴△MGA ≌△NAE    
∴MG＝AN＝1，AM＝NE
∴  
∴
∴G（1，9）
∵E（6，2）
∴
【点睛】本题考查了反比例函数的知识，待定系数法求解析式，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
41．(1)当t=s时，PM⊥EM；
(2)y=6t-t2；
(3)当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值为；
(4)存在，t=．

【分析】（1）证明△MEC∽△PMB时，进而根据求得结果；
（2）根据△APH∽△EAD表示出AH和PH，从而表示出三角形APH的面积，再表示出三角形APE的面积，从而得出y与t的关系式；
（3）表示出三角形PHE和三角形PEM的面积，列出方程求得；
（4）当EP平分∠AEB时，点B′落在AE上，根据角平分线性质求得结果．
【详解】（1）解：当t=时，PM⊥EM，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=14，BC=AD=12，∠B=∠C=90°，
∴AB=14，CE=CD-DE=14-9=5，CM=BM=BC=6，
∵PM⊥EM，即∠EMP=90°，
∴∠BMP+∠CME=90°，∠CEM+∠CME=90°，
∴∠CEM=∠BMP，
∴△ECM∽△MBP，
∴，
∴PB=，
∴AP=AB- PB=14-=，
∵t=（s），
∴当t=s时，PM⊥EM；
（2）解：∵∠D=90°，DE=9，AD=12，
∴AE==15，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，∠D=90°，
∴∠AED=∠HAP，
∵∠D=∠AHP=90°，
∴△AHP∽△EDA，
∴，
∴AH=t，PH=t，
∴S△APE=AP•BC=6t，
∴△AHP的面积为：×t•t=t2，
∴△EHP的面积为y=6t-t2；
（3）解：∵S△APE=6t，S△APH=t2，
∴S△PEH=6t-t2，
∵S梯形PBCE= (PB+CE)•BC=×12•（5+14-t）=114-6t，
S△CEM=×5×6=15，S△PBM=×6•(14−t)=42-3t，
∴S△PME=114-6t-15-（42-3t）=57-3t，
∴6t-t2=57-3t，
∴t1=，t2=（舍去），
∴当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值为；
（4）解：如图，

存在t，使得点B关于PE的对称点B'落在线段AE上．
理由如下：
∵∠C=90°，CE=5，BC=12，
∴BE=13，
当EP平分∠AEB时，点B关于PE的对称点在AE上，作PG⊥AE于G，PH⊥BE于H，EN⊥AB于N，
∴PG=PH，
∵，
∴，
∴，
∴t=．
【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，角平分线性质等知识，解决问题的关键转化条件，列出方程．
42．(1)2，60°
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析
(3)①△ABA1面积的最大值为3；②BB1的长为或．

【分析】（1）先求出BC，AA1=A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出，∠CAA1=∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论；
（3）①当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
（1）
解：在Rt△ABC中，AC=2，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴AA1=A1C=AC=1，BB1=B1C=BC=2，
∴，
∵∠ACB=60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，
故答案为：2，60°；
（2）
解：（1）中结论仍然成立，
证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，

由旋转知，∠ACA1=∠BCB1，
A1C=1，B1C=2，
∵AC=2，BC=4，
∴，，
∴，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴，∠CAA1=∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1
=∠ABC+∠BAC
=30°+90°=120°，
∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD）=60°；
（3）
解：①由题意，AC=2，AB==2，CA1=1，
当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，
最大值=×2×3=3；
②在图1中，Rt△A1B1C中，由勾股定理得A1B1=，
当点B1在BA1的延长线上时，如图3，

∵A1，B1，B三点共线，
∴∠BA1C=∠B1A1C=90°，
在Rt△A1BC中，A1B==，
∴BB1=A1B+A1B1=；
当点B1在线段A1B上时，如图4，

同①的方法得，A1B=，
∴BB1=A1B-A1B1=，
即线段BB1的长为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
43．(1)点C的坐标(0，﹣8)
(2)a＝，证明见解析
(3)还成立，理由见解析

【分析】（1）将A（-4，-2）代入抛物线y=ax2中，求得a的值，则C点坐标可得；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，由m=-1，可得点A（-1，a），则OD=AG=1，OG=AD=-a；利用△ACG∽△ABF，可得，求得OE=GF=2，则B（2，4a），BE=-4a，进而可得BF=BE-EF=BE-OG=-3a，因为点C（0，），所以OC=-，可得CG=-+a，利用△ACG∽△ABF，可得，将CG，BF的值代入即可求得a的值；利用勾股定理的逆定理可证明：∠AOB=90°．
（3）“∠AOB=90°”这一结论还成立；理由与（2）的过程相同．
【详解】（1）解：将A（﹣4，﹣2）代入抛物线y＝ax2中得：16a＝﹣2．
解得：a＝﹣ ，
∴点C的坐标（0，﹣8）．
（2）解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，如图，

∵m＝﹣1，
∴A（﹣1，a）．
∴OD＝AG＝1，OG＝AD＝EF＝﹣a．
∵AC：BC＝1：2，
∴AC：AB＝1：3．
∵CG//BF，
∴△ACG∽△ABF，
∴，
∴AF＝3，
∴GF＝AF﹣AG＝2，
∴B（2，4a），
∴BE＝﹣4a，
∴BF＝BE﹣EF＝﹣3a．
∵C（0，）（a＜0），
∴OC＝﹣，
∴CG＝OC﹣OG＝﹣+a．
∵△ACG∽△ABF，
∴，
∴．
解得：a＝．
∵a＜0，
∴a＝﹣．
∵OA2＝AD2+OD2＝1+a2，
BO2＝BE2+OE2＝4+16a2，
∴OA2+OB2＝5+17a2＝13.5．
又AB2＝AF2+BF2＝9+9a2＝13.5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°．
（3）解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，如图，

∵点A的横坐标为m（m＜0），
∴A（m，am2）．
∴OD＝AG＝﹣m，OG＝AD＝EF＝﹣am2．
∵AC：BC＝1：k（k＞1），
∴AC：AB＝1：（k+1）．
∵CG//BF，
∴△ACG∽△ABF．
∴．
∴AF＝﹣（1+k）m．
∴OE＝GF＝AF﹣AG＝﹣km．
∴B（﹣km，k2m2a）．
∴BE＝﹣k2m2a，
∴BF＝BE﹣EF＝﹣k2m2a+am2．
∵C（0，）（a＜0），
∴OC＝﹣．
∴CG＝OC﹣OG＝﹣+am2．
∵△ACG∽△ABF，
∴．
∴．
解得：．
∵OA2＝AD2+OD2＝m2+a2m4，
BO2＝BE2+OE2＝k2m2+k4m4a2，
∴OA2+OB2＝＝．
又AB2＝AF2+BF2
＝（﹣km﹣m）2+（﹣k2m2a+am2）2
＝k2m2+2km2+m2+k4m4a2﹣2k2m4a2+a2m4
＝﹣2
＝
＝，
∴OA2+OB2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
∴“∠AOB＝90°”这一结论还成立．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法，三角形的相似的判定与性质，勾股定理及其逆定理，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．