中考数学二轮专项训练专题05三角形含解析答案

这是一份中考数学二轮专项训练专题05三角形含解析答案，共42页。试卷主要包含了如图，，是的外角，，则的大小是，如图，为等边三角形，，则等于等内容，欢迎下载使用。
专题05�三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．如图，，是的外角，，则的大小是（   ）

A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
4．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）

A．80° B．95° C．100° D．110°
5．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．
6．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ）

A． B．
C． D．
7．如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ）

A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
8．如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，为等边三角形，，则等于（    ）

A． B． C． D．
11．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
12．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（    ）

A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
14．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．
15．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
16．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
17．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
18．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（　　）

A． B． C． D．
19．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
20．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）

A． B．
C． D．
21．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（　　）

A． B． C． D．
22．如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．则过角尺顶点的射线便是的平分线，其依据是（    ）

A． B．
C． D．
23．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ）

A． B． C． D．
24．如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
25．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（   ）

A． B．5 C． D．
26．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，点D到AB的距离为4cm，则DB=（　　）

A．6cm B．8cm C．5cm D．4cm
27．如图，四边形ABCD中∠ABC＝90°，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD'，连接DD'，当DD’的长取得最大值时，AB长为（    ）

A．3 B． C． D．2
28．如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）

A． B．
C． D．10

评卷人
得分



二、填空题
29．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AED，则边AC在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．

30．如图，在四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到，，，则BD= ．

31．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．

32．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．


评卷人
得分



三、解答题
33．如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．

34．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．

35．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠ACD＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：AD＝EF；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

36．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．

(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝32°，求∠CAO的度数．
37．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：

(1)∠AEB的度数为　 　；
(2)线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
(3)当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？　 　（填写“变化”或“不变”）．
38．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，过点C作MN∥AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR⊥PQ交直线AC于点R．
（1）当点Q在射线CM上时
①如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为 ；
②如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若，，请直接写出CR的长．


参考答案：
1．C
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可．
【详解】是的外角，，，
．
．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．
3．A
【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴
∴
∴∠C=32°
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．
4．B
【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，

∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中

∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
6．B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，

A. 添加一个条件AB=DE，
又

故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又

故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD

又

故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；
D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．
【详解】解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．
10．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
11．D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
12．B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
13．B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，

∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
14．B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
15．B
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．

，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
16．C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
17．B
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，

∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
18．D
【分析】根据勾股定理得到BC＝3，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到BE＝BC＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
过D作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝2，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
19．A
【分析】，，，从而可以利用判定△，即可得到结论．
【详解】1 、以为圆心， 任意长为半径用圆规画弧， 分别交、于点、；
2 、任意画一点，画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
3 、以为圆心，长为半径画弧， 交弧于点；
4 、过点画射线，就是与相等的角 ．
则通过作图我们可以得到，，，从而可以利用判定△，所以，
故选：A．
【点睛】此题考查了学生对常用的作图方法及全等三角形的判定方法的掌握情况．由作法找已知条件，结合判定方法进行思考是解题关键．
20．C
【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．
【详解】解：A、∵，，，
∴，选项不符合题意；
B、∵，，，
∴，选项不符合题意；
C、∵由，，，
∴无法判定，选项符合题意；
D、∵，，，
∴，选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
21．C
【分析】由折叠可知 ，进而得到，过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，由BD＝4AD得到，进而得到，再利用三角形面积公式推出，即可求解．
【详解】解：由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴①，
过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，

∴ ， ，
∵BD＝4AD，
∴ ，
∴ ②，
①－②得： ，
∵CM⊥AB，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线．
22．A
【分析】由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故答案为：．

故选：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
23．C
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
24．A
【分析】根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．
【详解】解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，

设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．C
【分析】由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，，，，可证是等边三角形，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用这些性质是解题的关键．
26．A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC=DE，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，

由题意得，DE=4cm，
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=4（cm），
∴BD=BC-DC=6（cm），
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．B
【分析】连接，AC然后证明≌△DBC（SAS），利用三角形三边的关系得到当点A在上时，有最大值，然利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】解：如图所示，连接，AC
由题意可得：∠=90°=∠1+∠2，
∵∠ABC=90°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=BC，，
在和△DBC中
，
∴≌△DBC（SAS），
∴，
在三角形中，，
∴当点A在上时，的最大值为，
∴此时∠=45°，
∴∠ADC=90°
∵≌△DBC
∴∠CDB=45°
在直角三角形ADC中，
在直角三角形ABC中，
∴
又∵AB=BC，
∴，
∴，
故选B.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．B
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，

BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，
所以AB＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
29．
【分析】先由勾股定理求出AC，再求以点A为圆心，以AC为半径，圆心角为90°的扇形面积即可．
【详解】解：如图，根据题意得，

边AC在旋转过程中所扫过的图形是以点A为圆心，以AC为半径，圆心角为90°的扇形，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=32+42=25，
∴边AC在旋转过程中所扫过的图形的面积为
S扇形ACD= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积，掌握勾股定理和扇形面积的计算方法是得出正确答案的前提．
30．
【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．
【详解】解：连接BE，如图，

∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=BC=9，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，AE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
31．或
【分析】分两种情况：当点C在边AD上，当点C在边DE上，由旋转的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：当点C在边AD上，如图1，

∵，
∴，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴，
如图2，当点C在边DE上，

∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴，
∴，
∴．
综合以上可得α的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
32．
【分析】过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．
【详解】解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，

∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．
33．见解析
【分析】先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．
【详解】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．
34．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已得：，
，
，
，
，
，
由（1）已证：，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
35．（1）证明过程见解析；（2）78°
【分析】（1）证明△BEF≌△CDA即可得解；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】（1）证明：在△BEF与△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴AD＝EF；
（2）解：∵△BEF≌△CDA，
∴∠D＝∠BEF，
∵∠D＝78°，
∴∠BEF＝78°．
∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF＝78°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，准确计算是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)∠CAO＝26°

【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=32°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=58°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=58°-32°=26°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．
37．(1)60°
(2)AD＝BE
(3)变化

【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（3）分类讨论当点E在内部和当点E在外部时，根据三角形内角和定理和全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC-∠CED＝60°．
故答案为：60°．
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．
（3）点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化，理由如下：
①如图，当点E在内部时
∵，，
∴，
∴；

②如图，当点E在外部时，
根据（1）同理易证，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
38．（1）①PQ＝PR；②，见解析；（2）或
【分析】（1）①PQ＝PR；连结AP，∠BAC＝90°，AB＝AC，可得∠ACP=45°，由点P为BC中点，可得AP⊥BC，AP平分∠BAC，可得∠APQ+∠QPC=90°，∠PAC=45°，可求∠RAP=135°，∠ACP=∠PAC=45°，可证△RAP≌△QCP（ASA）即可；
②．作PE ⊥PC交AC于点E， 可得∠EPC＝90°，可得∠EPQ+∠QPC=90°，由PR⊥PQ ，可得∠RPE+∠EPQ=90°，可得∠RPE＝∠QPC，再证△PER≌△PCQ（ASA），可得ER＝CQ，在Rt△CEP中，利用三角函数 可求即可；
（2）由∠BAC＝90°，AB＝AC＝，利用勾股定理可求，由，可，根据点Q在MN上位置分两种情况：当点Q在CM上与点Q在CN上时，利用结论可求CR．
【详解】（1）①连结AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACP=45°，
∵点P为BC中点
∴AP⊥BC，AP平分∠BAC，
∴∠APQ+∠QPC=90°，∠PAC=45°，
∴∠RAP=180°-∠PAC=135°，∠ACP=∠PAC=45°
∴AP=CP，
∵RP⊥PQ，
∴∠RPA+∠APQ=90°，
∴∠RPA=∠QOC，
∵MN∥AB，
∴∠ACQ=∠BAC=90°，
∴∠QCP=∠ACQ+∠PCA=90°+45°=135°=∠RAP，
在△RAP和△QCP中，

∴△RAP≌△QCP（ASA），
∴PR=PQ，
故答案为：PQ＝PR；

②．
证明：作PE ⊥PC交AC于点E，

则∠EPC＝90°，
∴∠EPQ+∠QPC=90°
∵PR⊥PQ
∴∠RPQ＝90°，
∴∠RPE+∠EPQ=90°，
∴∠RPE＝∠QPC，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，MN∥AB
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ACM＝∠BAC＝90°      
∴∠PEC＝45°
∴PE＝PC，∠PER＝∠PCQ＝135°，
在△REP和△QCP中，

∴△PER≌△PCQ（ASA），
∴ER＝CQ，
在Rt△CEP中，cos∠PEC＝，
又∵，
∴．
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴，
∵
∴
当点Q在CM上时


当点Q在CN上时
证明：作PE ⊥PC交CN于点E，
则∠EPC＝90°，
∴∠EPR+∠RPC=90°
∵PR⊥PQ
∴∠RPQ＝90°，
∴∠RPE+∠EPQ=90°，
∴∠RPC＝∠QPE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，MN∥AB
∴∠ABC＝∠ACB＝45°=∠BCQ，∠ACN＝∠ACB+∠BCQ=90°=∠BAC    
∴∠PEC＝45°
∴PE＝PC，∠PEQ＝∠PCR＝135°，
在△QEP和△RCP中，

∴△QEP≌△RCP（ASA），
∴EQ＝CR，
在Rt△CEP中，cos∠PEC＝，
又∵，
∴．


∴CR的长为或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数，掌握等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数是解题关键．