北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质课时练习

第二章3.2　抛物线的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1.若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(　　)

A.相交 B.相离 

C.相切 D.不确定

2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

3.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.0

4.[2023安徽宿州泗县第一中学高二期末]抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,若△AFK的面积是,则p的值为(　　)

A.1 B.2 C. D.3

5.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是(　　)

A.1 B.2 

C.0 D.无数个

6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　. 

7.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

B级 关键能力提升练

8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)

A.(6,+∞) B.[6,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

9.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为(　　)

A.1 B.1或3 C.2 D.2或6

10.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,求p的值.

C级 学科素养创新练

12.(多选题)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　)

A.=1 B.|AF|=6

C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点

参考答案

3.2　抛物线的简单几何性质

1.C　设PF的中点M(x0,y0),作MN⊥y轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=(|OF|+x1)=+x1=|PF|.故相切.

2.A　3.B

4.A　根据抛物线的定义可知,|AF|=|AK|,又直线AF的倾斜角为,AK⊥l,故△AKF是等边三角形.又△AFK的面积是,设|AF|=m,则m2sin60°=,解得m=2.故可得|AF|=|AK|=2,因为∠KFO=∠AKF=60°,

所以|EF|=|KF|=1,故2|OF|=p=1.

5.B

6.6　设抛物线的焦点坐标F0,,准线方程为y=-,代入=1得|x|=要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.

7.解 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-,∵|AF|=3,∴y0+=3,

∵|AM|=,+y0+2=17,=8,代入方程=2py0得,8=2p3-,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.

8.D

9.B　设A(xA,yA),B(xB,yB).因为|AF|+|BF|=4,由抛物线性质得xA++xB+=4,即xA+xB=4-p.因为线段AB的中点到直线x=的距离为1,所以=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.

10.C　依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,0,准线x=-,所以x1+x2+x3=3,则||+||+||=x1++x2++x3+=(x1+x2+x3)+=3.

11.解 设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,又=2px1,=2px2,+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,

∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,由解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,∵△OAB的面积为48,(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.

12.BCD　根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.

由直线l的斜率为,∠OFB=60°,

则∠FDA1=30°.设|BD|=x,则在Rt△DBB1,Rt△DAA1中,|BB1|=,|AA1|=4+,所以|BB1|=|BF|=,|AA1|=|AF|=4+,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,所以选项B正确;

1,所以选项A不正确;

因为|BD|=4,满足|BD|=2|BF|,所以选项C正确;

而|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以选项D正确.故选BCD.