高中北师大版 (2019)2.2 双曲线的简单几何性质练习题

第二章2.2　双曲线的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1.[2023河南商丘高二联考期末]已知双曲线C的中心在坐标原点处,其对称轴为坐标轴,经过点(-,2),且一条渐近线方程为2x-3y=0,则该双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A. B. C.1 D.

3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

4.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

5.已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是　　　　　. 

6.[2023安徽阜阳颍上第一中学高二期末]双曲线=1的离心率e∈(1,2),则实数k的取值范围是　　　　. 

7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值.

B级 关键能力提升练

8.如图,已知双曲线C:=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

9.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有(　　)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

10.若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)

A.2 B. C. D.

11.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3 B.2 C. D.

12.(多选题)[2023山东菏泽鄄城县第一中学高二期末]已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=,则(　　)

A.双曲线C的离心率为

B.双曲线=1与双曲线C的渐近线相同

C.△F1PF2的面积为4

D.△F1PF2的周长为4+8

13.已知A,B是双曲线=1(a>0,b>0)的两个顶点,P为双曲线上(除顶点外)一点,若直线PA,PB的斜率乘积为,则双曲线的离心率e=　　　　　. 

14.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.

C级 学科素养创新练

15.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.(+∞) B.(1,)

C.(2,+∞) D.(1,2)

16.已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,求e2-e1的取值范围.

参考答案

2.2　双曲线的简单几何性质

1.D　由题意设双曲线方程为4x2-9y2=m.因为双曲线经过点(-,2),所以4×3-9×4=m,得m=-24,所以双曲线方程为4x2-9y2=-24,即=1.

2.B　3.C

4.B　因为双曲线一个顶点的坐标为(0,2),所以a=2,且焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程可设为=1.

根据题意,得2a+2b=2c,即a+b=c.

又因为a2+b2=c2,且a=2,

所以解得b=2,

所以双曲线的标准方程为=1,

5+1　∵△MF1F2为等边三角形,且边长|F1F2|=2c,

设MF1的中点为P,则|PF1|=|F1F2|=c,

|PF2|=c,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=(-1)c=2a,

∴离心率e=+1.

6.(-12,0)　双曲线方程可变形为=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=又因为e∈(1,2),即1<<2,解得-12<k<0.

7.解 因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=a≥c-a,所以a≥c,即e,所以双曲线的离心率e的最大值为

8.B　因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点.又因为OM⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因为∠F1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan60°=,即双曲线C的渐近线方程为y=±x.

9.B

10.A　双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线的距离为d=,化简得3a2=b2,又c2=a2+b2,即c2=4a2,e==2,得双曲线的离心率为2.

11.B　设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1(m>0,n>0),因为它们共焦点,所以设它们的焦距均为2c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2.

12.BCD　设双曲线=1的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距长为c,则a=2,b=2,所以c==4,离心率e=,A错误;双曲线C的渐近线方程为y=±x,双曲线=1的渐近线方程是y=±x,双曲线=1与双曲线C的渐近线相同,B正确;由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=4,又|F1F2|=8,∠F1PF2=,所以2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=|F1F2|2-(|PF1|-|PF2|)2=64-48=16,即|PF1|·|PF2|=8,所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=4,C正确;(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2+2|PF1|·|PF2|=64+16=80,即|PF1|+|PF2|=4,所以△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+8,D正确.

13　由题意,可设A(-a,0),B(a,0),P(m,n),

∴kPA·kPB=

∵点P是双曲线上的点,可得=1,化简整理得n2=kPA·kPB=

∵直线PA,PB的斜率乘积为,即kPA·kPB=,

,可得,即-1=,

,可得e=

14.解 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b=(2a-c),化简可得离心率e==2+

15.C　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,即双曲线离心率的取值范围为(2,+∞).

16.解 设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,解得m=a1+a2,n=a1-a2,由|F1F2|=4|PF2|,可得n=c,即a1-a2=c,由e1=,e2=,可得,由0<e1<1,可得>1,可得,即1<e2<2,则e2-e1=e2-,设2+e2=t(3<t<4),则=t+-4,由于函数f(t)=t+-4在(3,4)上递增,所以f(t),即e2-e1的取值范围为