新高考数学二轮复习培优训练专题14 直线与圆（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题14 直线与圆（含解析），共21页。

1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小于 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 SKIPIF 1 < 0 最大或最小时， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，CD选项正确.
故选：ACD.
2、（2020全国Ⅲ文）在平面内， SKIPIF 1 < 0 是两个定点， SKIPIF 1 < 0 是动点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
从而： SKIPIF 1 < 0 ，结合题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即点C的轨迹是以AB中点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆．故选：A．
3、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为（ ）
A． 1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． 2
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离最大，即为 SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A． 1B． 2
C． 3D． 4
【答案】B
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，圆心到过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点 SKIPIF 1 < 0 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由于圆上的点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离均为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．故选B．
6、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙ SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作⊙ SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离．依圆的知识可知，四点 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小．
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得， SKIPIF 1 < 0 ．
∴以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，两圆的方程相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，即为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，故选D．
7、．【2022年全国甲卷】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
8、【2020年高考天津卷12】已知直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
9、【2022年全国甲卷】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
10、【2022年全国乙卷】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
11、【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
12、【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
13、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： SKIPIF 1 < 0 交C于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与l相切．
（1）求C， SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是C上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 相切．判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）依题意设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，所以半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的另一条直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性不妨设 SKIPIF 1 < 0
则过 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
综上若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切.
题组一、直线与圆的位置关系
1-1、（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值
C．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交
【答案】BCD
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， 若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，D对.
故选：BCD.
1-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题知圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
1-3、（2022·山东烟台·高三期末）若直线 SKIPIF 1 < 0 将圆 SKIPIF 1 < 0 分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣4或2C．2D．﹣2或4
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线和圆相交于AB，
由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或4，
故选：D.
1-4、（2022·河北张家口·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
1-5、（2022·广东广州·一模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相离
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相交
C．圆C上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1的点共有3个
【答案】BD
【解析】由圆 SKIPIF 1 < 0 ，可知其圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.
故选：BD
题组二、圆与圆的位置关系
2-1、（2022·山东枣庄·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两式相减：
得过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程： SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2-2、（2022·山东淄博·三模）（多选）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 有两条公切线
B．直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
D．圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得公共弦 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C，直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，故圆 SKIPIF 1 < 0 中不存在比 SKIPIF 1 < 0 长的弦，故C错误；
对于D，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ABD.
2-3、（2022·山东临沂·高三期末）（多选题）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点处的切线
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交D．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
【答案】ABD
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
观察图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，A对，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ 点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，又圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为1，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点处的切线，B对，
∵ 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，又圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为2，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离，C错，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，D对，
故选：ABD.
题组三、圆中的最值问题
33-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 中，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）
故选：A
3-2、（2022·河北唐山·高三期末）圆M： SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，记点 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 B．以PM为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为6D．若直线PA与圆M切于点A，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】圆M： SKIPIF 1 < 0 配方得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆M关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确.
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则以PM为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，B正确.
SKIPIF 1 < 0 的最小值即为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，由于 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
由于 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 取最小，即 SKIPIF 1 < 0 取最小值， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则D正确.
故选：ABD
3-3、（2021·山东日照市·高三二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：C
题组四、直线与圆的综合性问题
4-1、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过直线 SKIPIF 1 < 0 上任一点 SKIPIF 1 < 0 做圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为1
C． SKIPIF 1 < 0 不可能为钝角
D．当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】解：对A：设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
对B：四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由选项B知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误；
故选：ABC.
4-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 恒过原点 SKIPIF 1 < 0
B．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切
C．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得弦长的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
【答案】ABC
【解析】A.代入点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，A正确；
B. SKIPIF 1 < 0 ，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得弦长为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得弦长的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D.圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故圆和直线相切或相交，D错误；
故选：ABC.
1、（2022·河北保定·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2、（2022·广东清远·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的最短弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】将圆化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此可知圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
因为直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以当圆心到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
3、（2022·青海西宁·二模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 平分圆 SKIPIF 1 < 0 的圆周，则正数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆方程相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即为两圆的相交弦方程，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 平分圆 SKIPIF 1 < 0 的圆周，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 在相交弦上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故选：A
4、（2022·广东罗湖·高三期末）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以C的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5、（2021·山东青岛市·高三三模）（多选题）已知直线，曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．“”是曲线表示圆的充要条件
B．当时，直线与曲线表示的圆相交所得的弦长为1
C．“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件
D．当时，曲线与圆有两个公共点
【答案】C
【解析】对于A，曲线，曲线要表示圆，则或，
所以“”是曲线表示圆的充分不必要条件，故A错误；
对于B，时，直线，曲线，
圆心到直线的距离，
所以弦长，故B错误；
对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离，
所以“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；
对于D，当时，曲线，其圆心坐标，，
曲线与圆两圆圆心距离为，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误.
故选：C.
6、（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： SKIPIF 1 < 0 的一条直径，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】3
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：3
7、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，P是圆C： SKIPIF 1 < 0 上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=|PB|= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
P是圆C： SKIPIF 1 < 0 上一点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8、（2022·江苏海门·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y+2k＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足 SKIPIF 1 < 0 ＝1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理为 SKIPIF 1 < 0 ，经检验 SKIPIF 1 < 0 不是两动直线的交点，故交点P的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
由对称性，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立，
得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
O到直线l的距离的平方为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .