新高考数学二轮复习培优训练专题13 运用空间向量研究立体几何问题（含解析）

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1、【2022年全国甲卷】在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【解析】(1)证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因平面，
所以；
(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
2、【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】(1)因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
3、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】(1)
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
4、【2022年新高考2卷】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【解析】(1)证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
(2)解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
所以
设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，
所以，所以
故二面角的正弦值为；
5、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，不妨以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点． SKIPIF 1 < 0
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小?
【解析】因为三棱柱 SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直．
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
由题设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 取最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
【解析】方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC．
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=．
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
方法二：
（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．
因此，，．
由得．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，
由（Ⅰ）可得，，
设平面A1BC的法向量为，
由，得，
取，故．
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为．
8、（2020全国Ⅰ理18）如图， SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 是圆锥底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是底面的内接正三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题设，知 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
9、（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内；
（2）证明：若 SKIPIF 1 < 0 时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．

【解析】证明：（1）在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，分别连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是平行四边形．
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内．
（2）解：在长方形 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取法向量 SKIPIF 1 < 0 ；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取法向量 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
题组一、线面角
1-1、（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折，得到如图2所示的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【解析】（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为N，连接 SKIPIF 1 < 0 .
又∵M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ M，N，C，D四点共面
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ △ SKIPIF 1 < 0 为正三角形，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
以D为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为x轴正方向， SKIPIF 1 < 0 为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则
SKIPIF 1 < 0 即： SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
1-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点.
（1）求证:平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长为1的正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以射线 SKIPIF 1 < 0 ､射线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 均为边长为2的等边三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 都与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）
证明：分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是全等的正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题组二、面面角
2-1、（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，侧面 SKIPIF 1 < 0 底面OBCD．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 底面OBCD；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为120°，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【解析】（1）
证明：因为四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为侧面 SKIPIF 1 < 0 底面OBCD，侧面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 侧面AOD，所以 SKIPIF 1 < 0 底面OBCD．
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直．
如图，以O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为x轴正方向， SKIPIF 1 < 0 的方向为y轴正方向，
建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面ABC的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 为平面ACD的法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高为1，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
2-3、（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】（1）
在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，AB中点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，EF，由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，由图知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为钝角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
题组三、探索性问题
3-1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置.
【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）知，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 点的四等分点，且坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
3-2、（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：（1）因为Q为AD的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形BCDQ是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在等边三角形PAD中， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
故 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．又 SKIPIF 1 < 0 平面PAD，
故平面 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD；
（2）
以Q为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
假设棱PC上存在点M，使二面角 SKIPIF 1 < 0 为30°．
设 SKIPIF 1 < 0 ，这里 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面BQM的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 为平面CBQ的一个法向量，由二面角 SKIPIF 1 < 0 为30°，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
两边平方并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故棱PC上存在点M，当 SKIPIF 1 < 0 时，二面角 SKIPIF 1 < 0 为30°．
3-3、（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面；
（2）是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的长度；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
证明：如图所示：
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点为M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，ME，
因为E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以B，E， SKIPIF 1 < 0 ，F四点共面；
（2）
以D为坐标原点，DA，DC， SKIPIF 1 < 0 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
假设存在满足题意的点G，设 SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面BEF的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
设平面GEF的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以存在满足题意的点G，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，DG的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
3-4、（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若平面APSB与棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于点P，S，且 SKIPIF 1 < 0 ，Q，R分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ，BC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设平面APSB与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，探究： SKIPIF 1 < 0 是否成立？请说明理由．
【解析】（1）
在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
以D为坐标原点，射线DA，DC， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立．
1、（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．
（1）求证：OA⊥PB；
（2）若C底面圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解析】（1）
∵OP是圆柱的一条母线，
∴OP⊥平面OAB，又 SKIPIF 1 < 0 面OAB，
∴OP⊥OA，
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即OA⊥OB，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OA⊥面OPB，又∵ SKIPIF 1 < 0 面OPB，
∴OA⊥PB.
（2）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形OACB为正方形,
如图建立空间直角坐标系O—xyz，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P（0，0，2）， SKIPIF 1 < 0
设平面PAB的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线PC与平面PAB所成角为θ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
2、（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面ABC的夹角的余弦值.
【解析】（1）
连接 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在等边 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，所以以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面ABC的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则
SKIPIF 1 < 0
3、（2022·山东淄博·高三期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为PC的中点，点F在PD上且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面AEF；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【解析】（1）
根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 上
故有： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）
根据（1）可设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则有：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，此时，可解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0
不妨设 SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0
设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，法向量 SKIPIF 1 < 0 的方向是朝向二面角 SKIPIF 1 < 0 外侧，法向量 SKIPIF 1 < 0 的方向是朝向二面角内侧，故二面角 SKIPIF 1 < 0 就是向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角
则有：
SKIPIF 1 < 0
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为： SKIPIF 1 < 0
4、（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．
【解析】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ADE．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面ADE，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
方法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角A－EF－D的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面ADE，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面ADE．
过A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面CDEF．
连结KG，则 SKIPIF 1 < 0 为AK与平面CDEF所成的角，即 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，过K作 SKIPIF 1 < 0 于H，则 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角A－EF－D的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ．
建立如图所示的空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
A（2，0，0）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线AK与平面CDEF所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面CDEF法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
此时，点K为点F，CK的长度为2．