新高考数学二轮复习培优训练专题17 圆锥曲线的综合应用（解答题）（含解析）

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(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【解析】(1)
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
(2)设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解析】(1)
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
(2)
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】
3、【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】(1)
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以， ，
同理可得，， ．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
4、【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】(1)
右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
5、【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求△ SKIPIF 1 < 0 的面积．
【解析】解法一：（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性，只需考虑 SKIPIF 1 < 0 的情形，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴有 SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ①．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②．
又 SKIPIF 1 < 0 = 3 \* GB3 ③．
联立 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③，可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．综上所述，可得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴垂线，交点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意画出图形，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形全等条件“ SKIPIF 1 < 0 ”，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 ，画出图象，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
根据点到直线距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
根据两点间距离公式可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 ，画出图象，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，根据点到直线距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，根据两点间距离公式可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
6、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最大值.
【解析】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线， SKIPIF 1 < 0 是切点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解析】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，对该函数求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 为这两条直线的公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值 SKIPIF 1 < 0 .
8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 的两条直线分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 无公共点，
不妨直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 .
题型一 圆锥曲线中的最值问题
1-1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的一点，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点M SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点分别为P，Q，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
【解析】【分析】
（1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理即可求解.
(1)由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，
SKIPIF 1 < 0
把①式代入，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0
题型二 圆锥曲线中的定点问题
2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．
【答案】(1)y2＝4x；
(2)直线m恒过定点( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，理由见解析.
【解析】由题意得该抛物线焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 －(－ SKIPIF 1 < 0 )＝p＝2，
所以该抛物线的方程为y2＝4x．
(2)①当直线l1， l2的斜率都存在时，设直线l1： SKIPIF 1 < 0 ，直线l2：y－1＝k2（x－1），
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，x1x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则以AB为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
同理，以CD为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
∴以两圆公共弦所在的直线m的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线恒过定点( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )．
②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2，
则以AB为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
以CD为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
所以两圆公共弦所在的直线m的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线m恒过定点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
综上得：直线m恒过定点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
2-2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知点M为直线 SKIPIF 1 < 0 ：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用定义法求曲线C的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，化简 SKIPIF 1 < 0 ，代入韦达定理即得解.
(1)
解：由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即点P到定点N的距离等于它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
故点P的轨迹是以N为焦点， SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
题型三 圆锥曲线中的定值问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，证明： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
【解析】(1)
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ① ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ②，
① ②联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
② 故椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，可知 SKIPIF 1 < 0
故可得此时有 SKIPIF 1 < 0 ，该点在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
则此时 SKIPIF 1 < 0 ;
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
且需满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 ，
由原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心知， ，
故 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入到 SKIPIF 1 < 0 中，
化简得： ，即 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的3倍，
所以 ，
而
=
= ，
因此
=，
综合上述可知： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
3-2、（2022·山东泰安·高三期末）设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，且点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】(1)
根据椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
椭圆C的方程为： SKIPIF 1 < 0
(2)
由题知， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
题型四 圆锥曲线中的角度问题
4-1、（2022·广东东莞·高三期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上异于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，以及 SKIPIF 1 < 0 关系，联立可求解出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得椭圆的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，从而得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，计算得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简计算，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以可证明 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
4-2、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，试判断在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在三个不同点 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标不相等)，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角互补？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）由离心率及过的点的坐标，及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，进而可得椭圆的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出参数的值，求出直线的方程．
【详解】解：（1）由题意知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
满足 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角互补，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在满足条件的三个点，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题型五 圆锥曲线中的探索性问题
5-1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，可求得b，再根据渐近线方程可求得a,，即得双曲线方程；
（2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出点M，N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式代入，看能否解出参数t的值，即可得答案.
(1)
双曲线 SKIPIF 1 < 0 一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点 ，则焦点到准线的距离 ，
由F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ，
由渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 知： ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
设直线l的方程为 ，
联立 ，整理得： ，
设 ，而 ,
则 ，
所以 ， ，
假设存在实数t，使得，则 ,
故由 SKIPIF 1 < 0 方程： ,令得 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 方程： ,令得，
所以，
即 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故存在实数，使得.
5-2、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，经过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值；
（2）设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 两点，问是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当y0＝±2 SKIPIF 1 < 0 时，|AP|取得最小值2 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
设以AB为直径的圆上任一点 SKIPIF 1 < 0
所以Q的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以Q的轨迹方程化为 SKIPIF 1 < 0
令y＝0，得 SKIPIF 1 < 0
所以上式方程的两根分别为x3，x4，，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．
所以存在t＝2，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
1、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：定点问题
【解析】
(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
因为EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，
所以EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………………………………………………………2分
解得eq \B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))从而b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的方程eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………………………………………………………4分
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由eq \B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq 3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．
则eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ \F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．…………………………………………………………6分
所以k1＋k2＝EQ \F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ \F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ \F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)
＝EQ \F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)
＝EQ \F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ \F(3,m－2k)．
由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………………………………………10分
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5，0)．……………………………………………12分
2、（2022·山东枣庄·高三期末）如图， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，过原点且异于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的另一交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】
(1)因为A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，故 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故直线AM的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AN的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
将AM的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线AN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
3、（2022·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点（不含短轴端点），点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，直接根据条件列方程，注意挖去两点，即可得到答案；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，进行计算可得 SKIPIF 1 < 0 为定值；
(1)
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 方程中令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值．
4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为锐角，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左焦点,连接 SKIPIF 1 < 0 ,由椭圆的对称性可知, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
5、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)已知椭圆E：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,2),2)，点A(0，－1)是椭圆E短轴的一个四等分点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0，2)，直线BM，BN分别交⊙C：eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数λ，使得k2＝λk1恒成立．
【解析】
(1)由题意，eq \f(b－(－1),(－1)－(－b))＝3，解得b＝2，
设椭圆半焦距为c，则eq \f(c,a)＝\f(\r(,2),2)，即eq 1－\f(b\s\up6(2),a\s\up6(2))＝\f(1,2)，解得eq a\s\up6(2)＝8．
∴椭圆的标准方程为eq \f(x\s\up6(2),8)＋\f(y\s\up6(2),4)＝1． …………4分
(2)设eq M(x\s\d(1)，y\s\d(1))，N(x\s\d(2)，y\s\d(2))，P(x\s\d(P)，y\s\d(P))，Q(x\s\d(Q)，y\s\d(Q))，直线MN方程为eq y＝k\s\d(1)x－1．
方法一：
直线BM方程为eq y＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))x＋2，与eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1联立．
得eq (x\s\d(1)\s\up6(2)＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))x\s\up6(2)＋2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2)x＝0．
由xP≠0，解得eq x\s\d(P)＝\f(－2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2),x\s\d(1)\s\up6(2)＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))．
又EQ \F(x\S\DO(1)\s\up3(2),8)＋EQ \F(y\S\DO(1)\s\up3(2),4)＝1，即x12＝8－2y12，代入上式，得eq x\s\d(P)＝\f(－2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2),2(4－y\s\d(1)\s\up6(2))＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))＝\f(2x\s\d(1),y\s\d(1)＋6)．
eq y\s\d(P)＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))x\s\d(p)＋2＝4－\f(16,y\s\d(1)＋6)．
即点eq P(\f(2x\s\d(1),y\s\d(1)＋6)，4－\f(16,y\s\d(1)＋6))，同理，点eq Q(\f(2x\s\d(2),y\s\d(2)＋6)，eq 4－\f(16,y\s\d(2)＋6))．
eq k\s\d(2)＝\f(y\s\d(P)－y\s\d(Q),x\s\d(P)－x\s\d(Q))＝EQ \F(4－\F(16,y\S\DO(1)＋16)－\b\bc\((\l(4－\F(16,y\S\DO(2)＋16))),\F(2x\S\DO(1),y\S\DO(1)＋6)－\F(2x\S\DO(2),y\S\DO(2)＋6))＝eq \f(8(y\s\d(1)－y\s\d(2)),x\s\d(1)y\s\d(2)－x\s\d(2)y\s\d(1)＋6x\s\d(1)－6x\s\d(2))．
将eq y\s\d(1)＝k\s\d(1)x\s\d(1)－1，y\s\d(2)＝k\s\d(1)x\s\d(2)－1代入上式，
得k2＝EQ \F(8k\S\DO(1)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)－x\S\DO(2))),x\S\DO(1)\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(2)－1))－x\S\DO(2)\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(1)－1))＋6\b\bc\((\l(x\S\DO(1)－x\S\DO(2))))eq ＝\f(8k\s\d(1)(x\s\d(1)－x\s\d(2)),5(x\s\d(1)－x\s\d(2)))．
即k2＝EQ \F(8,5)k1，∴λ＝EQ \F(8,5)． …………12分
方法二：
eq y＝k\s\d(1)x－1与eq \f(x\s\up6(2),8)＋\f(y\s\up6(2),4)＝1联立得：eq (2k\s\d(1)\s\up6(2)＋1)x\s\up6(2)－4k\s\d(1)x－6＝0，则eq \B\lc\{(\a\al(x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(4k\s\d(1),2k\s\d(1)),x\s\d(1)x\s\d(2)＝\f(－6,2k\s\up6(2)＋1)))．
eq k\s\d(BM)＋k\s\d(BN)＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))＋\f(y\s\d(2)－2,x\s\d(2))＝\f(k\s\d(1)x\s\d(1)－3,x\s\d(2))＝\f(k\s\d(1)x\s\d(1)－3,x\s\d(2))＝2k\s\d(1)－\f(3(x\s\d(1)＋x\s\d(2)),x\s\d(1)x\s\d(2))＝4k\s\d(1)．
kBMkBN＝EQ \F(y\S\DO(1)－2,x\S\DO(1))EQ \F(y\S\DO(2)－2,x\S\DO(2))＝EQ \F(\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(1)－3))\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(2)－3)),x\S\DO(1)x\S\DO(2))＝EQ \F(k\S\DO(1)\s\up3(2)x\S\DO(1)x\S\DO(2)－3k\S\DO(1)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋9,x\S\DO(1)x\S\DO(2))
＝EQ \F(－6k\S\DO(1)\s\up3(2)－12k\S\DO(1)\s\up3(2)＋9\b\bc\((\l(2k\S\DO(1)\s\up3(2)＋1)),－6)＝－EQ \F(3,2)．
设直线PQ方程为eq y＝k\s\d(2)x＋t，与eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1联立得：eq (k\s\d(2)\s\up6(2)＋1)x\s\up6(2)＋2k\s\d(2)(t－1)x＋r(t－2)＝0．
则EQ \B\lc\{(\a\al(x\S\DO(P)＋x\S\DO(Q)＝\F(－2k\S\DO(2)(t－1),k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1),x\S\DO(P)x\S\DO(Q)＝\F(t(t－2),k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1)))．
eq k\s\d(BP)＋k\s\d(BQ)＝\f(y\s\d(P)－2,x\s\d(P))＋\f(y\s\d(Q)－2,x\s\d(Q))＝\f(k\s\d(2)x\s\d(P)＋t－2,x\s\d(P))＋\f(k\s\d(2)x\s\d(Q)＋t－2,x\s\d(Q))＝2k\s\d(2)＋\f((t－2)(x\s\d(P)＋x\s\d(Q)),x\s\d(P)x\s\d(Q))
eq ＝2k\s\d(2)－\f(2k\s\d(2)(t－2)(t－1),t(t－2))＝\f(2k\s\d(2),t)．
kBPkBQ＝EQ \F(y\S\DO(P)－2,x\S\DO(P))EQ \F(y\S\DO(Q)－2,x\S\DO(Q))＝EQ \F(\b\bc\((\l(k\S\DO(2)x\S\DO(P)＋t－2))\b\bc\((\l(k\S\DO(2)x\S\DO(Q) ＋t－2)),x\S\DO(P)x\S\DO(Q))＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)x\S\DO(P)x\S\DO(Q)＋k\S\DO(2)(t－2)\b\bc\((\l(x\S\DO(P)＋x\S\DO(Q)))＋(t－2)\s\up3(2),x\S\DO(P)x\S\DO(Q))
＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)t(t－2)－2k\S\DO(2)\s\up3(2)(t－2)(t－1)＋\b\bc\((\l(k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1))(t－2)\s\up3(2),t(t－2))＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)t－2k\S\DO(2)\s\up3(2)(t－1)＋\b\bc\((\l(k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1))(t－2),t)＝EQ \F(t－2,t)．
由EQ \B\lc\{(\a\al(k\S\DO(BM)＋k\S\DO(BN)＝k\S\DO(BP)＋k\S\DO(BQ),k\S\DO(BM)k\S\DO(BN)＝k\S\DO(BP)k\S\DO(BQ)))，即EQ \B\lc\{(\a\al(4k\S\DO(1)＝\F(2k\S\DO(2),t),－\F(3,2)＝\F(t－2,t)))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(t＝\F(4,5),k\S\DO(2)＝\F(8,5)k\S\DO(1)))．
∴λ＝EQ \F(8,5)． …………12分